Table des Matières

Formules, Règles et Théorèmes des Limites des Fonctions

Définition

1) Définition Formelle ("définition epsilon-delta")
La limite de \( f(x) \), lorsque \( x \) approche \( a \) , existe et est égale à \( L \) écrit comme \[ \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = L \] si pour toute valeur de \( \epsilon \gt 0 \) nous pouvons trouver une valeur de \( \delta \gt 0 \) telle que si \( 0 \lt |x - a| \lt \delta \) alors \( |f(x) - L| \lt \epsilon \)
2) Définition Fonctionnelle
La limite de \( f(x) \), lorsque \( x \) approche \( a \) , existe et est égale à \( L \) écrit comme \[ \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = L \] si nous pouvons rendre les valeurs de \( f(x) \) aussi proches que nous le voulons de \( L \) lorsque \( x \) prend des valeurs plus proches et sur les deux côtés de \( a \).
Remarque que la fonction peut ou non être définie en \( x = a \) pour qu'une limite de fonction existe en \( x = a \).

Formules des Limites

• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1 \) (Voir Théorème de Serrage pour Trouver les Limites des Fonctions Mathématiques pour la preuve)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin^{-1} x}{x} = 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan x}{x} = 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\tan^{-1} x}{x} = 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{1 - \cos x}{x} = 0 \) (Voir Limites des Fonctions Trigonométriques pour la preuve)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{a^x - 1}{x} = \ln a \) , si \( a \gt 0 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} (1+\dfrac{1}{x})^x = e \) (Voir Constante d'Euler e pour la définition de e)
• \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} (1+\dfrac{1}{x})^{kx} = e^k \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} (1+x)^{1/x} = e \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0} \dfrac{\ln(1+x)}{x} = 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \log_b x = -\infty \) , pour \( b \gt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \log_b x = \infty \) , pour \( b \gt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to 0^+} \log_b x = \infty \) , pour \(0 \lt b \lt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to \infty} \log_b x = -\infty \) , pour \( 0 \lt b \lt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} b^x = \infty \) , pour \( b \gt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to - \infty} b^x = 0 \) , pour \( b \gt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to +\infty} b^x = 0 \) , pour \( 0 \lt b \lt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to - \infty} b^x = \infty \) , pour \( 0 \lt b \lt 1 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to + \infty} x^{\frac{1}{x}} = 1 \)
  Remarque que beaucoup des limites de rapports énumérées ci-dessus peuvent être trouvées en utilisant la Règle de L'Hôpital.

Théorèmes et Règles des Limites

Soit \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = L_1 \) et \( \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = L_2 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} (f(x) \pm g(x)) = \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \pm \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = L_1 \pm L_2\)
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} (f(x) \cdot g(x)) = \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) \cdot \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = L_1 \cdot L_2\)
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} (k \cdot g(x)) = k \cdot \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = k \cdot L_1 \) , où \( k \) est une constante
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} (\dfrac{f(x)}{g(x)}) = \dfrac{ \displaystyle \lim_{x\to a} f(x)}{ \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) } = \dfrac{L_1}{L_2} \) si \( L_2 \ne 0 \)
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} [f(x)]^n = [ \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) ]^n = L_1^n \) , si \( n \) est un entier positif.
• \( \displaystyle \lim_{x\to a} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n] { \displaystyle \lim_{x\to a} {f(x)}} = \sqrt[n]{L_1} \) ; si \( n \) est un entier positif et \( L_1 \gt 0 \) Si \( n \) est pair ,
• Si \( f(x) \) est une fonction continue, alors \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = f(a) \)
  
  
• Théorème du Serrage (ou Théorème du Sandwich)
  Si \( f(x) \le g(x) \le h(x) \) pour \( x \) près de \( a \) et si \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = \displaystyle \lim_{x\to a} h(x) = L \) , alors \( \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = a \)
  
  
• Règle de L'Hôpital
  Si \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = 0 \) et \( \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = 0 \)
  ou \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = +\infty \) et \( \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = +\infty \)
  ou \( \displaystyle \lim_{x\to a} f(x) = -\infty \) et \( \displaystyle \lim_{x\to a} g(x) = -\infty \)
  et si \( \displaystyle \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} \) existe , alors
  \( \quad \quad \quad \displaystyle \lim_{x\to a} \dfrac{f(x)}{g(x)} = \displaystyle \lim_{x\to a} \dfrac{f'(x)}{g'(x)} \)

Plus de Références et Liens