Formules et Règles pour les Intégrales en Calcul Différentiel

\( \)\( \)\( \) Dans ce qui suit, \( c \) est la constante d'intégration.

Formules

\( f(x) \)	\( \displaystyle \int f(x) dx \)
\( x^n \)	\( \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + c\)
\( \dfrac{1}{x} \)	\( \ln \|x\| + c \)
\( e^x \)	\( e^x + c \)
\( \ln x \)	\( x \ln x - x + c \)
\( \sin x \)	\( -\cos x + c \)
\( \cos x \)	\( \sin x + c \)
\( \tan x \)	\( -\ln \|\cos x\| + c \)
\( \cot x \)	\( \ln \|\sin x\| + c \)
\( \sec x \)	\( \ln( \sec x + \tan x ) + c \)
\( \csc x \)	\( \ln(\csc x - \cot x) + c \)
\( \sinh x \)	\( \cosh x + c \)
\( \cosh x \)	\( \sinh x + c \)
\( \tanh x \)	\( \ln( \cosh x) + c \)
\( \coth x \)	\( \ln( \sinh x) + c \)
\( \text{sech} \; x \)	\( 2 \tan^{-1}(e^x) + c \)
\( \text{csch} \; x \)	\( -\ln (\coth x + \text{csch}\; x) + c \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)	\( \sin^{-1} \left(\dfrac{x}{a}\right) + c \; , \|x\| \lt a \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{a^2 - x^2}} \)	\( - \cos^{-1} \left(\dfrac{x}{a}\right) + c \; , \|x\| \lt a \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2 + a^2}} \)	\( \ln(x+\sqrt{x^2 + a^2}) + c \)
\( \dfrac{1}{\sqrt{x^2 - a^2}} \)	\( \ln(x+\sqrt{x^2 - a^2}) + c \)
\( \dfrac{1}{x^2 + a^2} \)	\( \dfrac{1}{a} \tan^{-1} \left(\dfrac{x}{a} \right) + c \)
\( \dfrac{1}{x^2 - a^2} \)	\( \dfrac{1}{2 a} \ln \left(\dfrac{x-a}{x+a}\right) + c \)
\( \dfrac{1}{a^2 - x^2} \)	\( \dfrac{1}{2 a} \ln \left(\dfrac{a+x}{a-x}\right) + c \)

Règles et Propriétés des Intégrales Indéfinies

\( u \) et \( v \) sont des fonctions de \( x \)

Linéarité: \( \displaystyle \ int (a u + b v) dx = a \int u dx + b \int v dx \) , \( a \) et \( b \) sont des constantes.
Intégration par parties: \( \displaystyle \int u dv = u v - \int v du \)
Dérivée d'une intégrale indéfinie: \( \displaystyle \dfrac{d}{dx} \int u dx = u \)
Antidérivée: Si \( \displaystyle \int u dx = U(x) + c \) , \( U(x) + c \) est appelée l'antidérivée et \( U'(x) = u(x) \)
Intégration du rapport de la dérivée et de la fonction: \( \displaystyle \int \dfrac{u'}{u} dx = ln | u | + c \)
Intégration d'une fonction linéairement composée: \( \displaystyle \int u(a x+b) dx = \dfrac{1}{a} U(ax + b) + c \) , où \( \displaystyle U(x) = \int u dx \) et \( a \) et \( b \) sont des constantes.
Intégration du produit de la dérivée et de la fonction: \( \displaystyle \int u u' dx = \dfrac{1}{2} u^2 + c \)

Règles et Propriétés des Intégrales Définies

Intégrale Définie à partir de l'Intégrale Indéfinie : Si \( \displaystyle \int u(x) dx = U(x) + c\) alors \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx = ( U(x_2) + c) - ( U(x_1) +c ) = (U(x) +c) \Large{\left.\right|_{x_1}^{x_2}} \)
Changement de l'Ordre des Limites de l'Intégration : \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx = - \int_{x_2}^{x_1} u(x) dx \)
Limites d'Intégration Égales : \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_1} u(x) dx = 0 \)
Division d'un Intervalle d'Intégration : \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_3} u(x) dx = \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx + \int_{x_2}^{x_3} u(x) dx\)
Si \( u(x) \ge v(x) \) sur l'intervalle \( [x_1 , x_2] \) , alors \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx \ge \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} v(x) dx \)
Cas particulier de ce qui précède: Si \( u(x) \ge 0 \) sur l'intervalle \( [x_1 , x_2] \) , alors \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx \ge 0 \)
Si \( w(x) \le u(x) \le v(x) \) sur l'intervalle \( [x_1 , x_2] \) , alors \( \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} w(x) dx \le \int_{x_1}^{x_2} u(x) dx \le \displaystyle \int_{x_1}^{x_2} v(x) dx \)
Fonction Paire : \( \displaystyle \int_{-x_1}^{x_1} u(x) dx = 2 \displaystyle \int_{0}^{x_1} u(x) dx \) , si \( (u(x)\) est une fonction paire signifiant \(u( - x) = u(x) \)
Fonction Impaire : \( \displaystyle \int_{-x_1}^{x_1} u(x) dx = 0 \) , si \( (u(x)\) est une fonction impaire signifiant \(u( - x) = - u(x) \)

Plus de Références et Liens

Manuel des Fonctions Mathématiques
Joel Hass, University of California, Davis; Maurice D. Weir Naval Postgraduate School; George B. Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology ; University Calculus , Early Transcendentals, Third Edition , Boston Columbus , 2016, Pearson.
Gilbert Strang; MIT, Calculus, Wellesley-Cambridge Press, 1991 Mathématiques pour Ingénieurs avec Exemples et Solutions

Formules et Règles pour les Intégrales en Calcul Différentiel

Formules

\( f(x) \)

\( \displaystyle \int f(x) dx \)

Règles et Propriétés des Intégrales Indéfinies

Règles et Propriétés des Intégrales Définies

Plus de Références et Liens