Table des Matières
Formules pour les Séries et Transformées de Fourier
\( \) \( \)\( \)
Série de Fourier Réelle
Si \( f(t) \) est une fonction périodique avec une période \( T \), alors
\( \displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2} a_0 + \sum_{m=1}^{\infty} a_m \cos \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) + \sum_{m=1}^{\infty} b_m \sin \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) \)
\( \displaystyle a_m = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \cos \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)
\( \displaystyle b_m = \dfrac{2}{T} \int_0^T f(t) \sin \left(\dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)
Série de Fourier Complexe
\( j = \sqrt{-1} \) est l'unité imaginaire
Si \( f(t) \) est une fonction périodique avec une période \( T \), alors
\( \displaystyle f(t) = \sum_{m = -\infty}^{\infty} c_m \exp \left( j \dfrac{2 \pi m}{T} t \right) \)
\( \displaystyle c_m = \dfrac{1}{T} \int_0^T f(t) \exp \left( - j \dfrac{2 \pi m}{T} t\right) dt \)
Relation Entre les Coefficients Réels et Complexes
\( c_m = \dfrac{1}{2} (a_m - j b_m) , m \gt 0 \)
\( c_0 = \dfrac{1}{2} a_0 \)
\( c_m = \dfrac{1}{2} (a_{-m} + j b_{-m}) , m \lt 0 \)
Paire de Transformées de Fourier
Si \( f(t) \) est définie dans la plage \( -\infty \lt t \lt +\infty \), alors la transformée de Fourier \( F(\omega) \) est définie par
\( \displaystyle F(\omega) = \int_{-\infty}^{+\infty} f(t) \exp \left( - j \omega t\right) dt \)
et
\( \displaystyle f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{+\infty} F(\omega) \exp \left( j \omega t\right) d\omega\)
Plus de Références et Liens
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