Une analyse mathématique détaillée des filtres passe-bas passifs du premier et du deuxième ordre est présentée.
Les calculs impliqués dans l'étude des filtres passe-bas du premier et du deuxième ordre sont très exigeants. Cependant, une
Calculatrice Graphique de la Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas est incluse et peut donc être utilisée pour plus de pratique.
\( \) \( \) \( \)\( \)
Impédances des Composants Passifs
Les impédances \( Z_R \) d'une résistance de résistance \( R \) sont données par
\( \quad Z_R = R \)
Les impédances \( Z_C \) d'un condensateur de capacité \( C \) et les impédances \( Z_L \) d'un inducteur de l'inductance \( L \) sont données respectivement sous forme complexe par :
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{ s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
où \( s = j \; \omega \)
Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Premier Ordre
Considérons le circuit ci-dessous. Lorsque la fréquence \( f \) du signal d'entrée \( v_{in} \) diminue, la fréquence angulaire \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \) diminue, l'impédance du condensateur \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{ s \; C} = \dfrac{1}{ j \; \omega \; C} \) augmente et donc la tension aux bornes de \( R \) tend vers zéro et la tension \( v_{out} \) tend vers une valeur proche de \( v_{in} \).
Lorsque la fréquence augmente, l'impédance du condensateur diminue jusqu'à zéro et donc la tension de sortie \( v_{out} \) tend vers zéro. Ainsi, le circuit RC dans la Figure 1 ne permet que les basses fréquences de passer à la sortie. C'est un filtre passe-bas.
Figure 1 - Filtre Passe-Bas RC
Soit \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) la fonction de transfert.
Le circuit de la Figure 1 est un diviseur de tension et en utilisant les impédances sous forme complexe, nous avons
Remarquez que l'ordre d'un filtre est donné par la puissance maximale de \( s \) dans la fonction de transfert. La puissance maximale de \( s \) dans (I) ci-dessus est égale à \( 1 \) et donc le filtre est de premier ordre.
\( H(\omega) \) est une fonction complexe sous forme du quotient de deux fonctions
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
Selon les nombres complexes, le module est donné par
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
et l'argument (phase dans les circuits AC) est donné par
Argument de \( H(\omega) \) = Argument de \( Z_1 \) - Argument de \( Z_2 \)
Remarquez que l'argument (dans les nombres complexes) et la phase (dans le circuit AC) sont la même quantité.
Le module \( |H(\omega)| \) et la phase \( \Phi(\omega) \) de la fonction de transfert \( H(\omega) \) dans (II) ci-dessus, sont donnés par
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
La Fréquence de Coupure \( - 3 \) dB du Filtre Passe-Bas du Premier Ordre
La fréquence angulaire de coupure \( \omega_c \) est définie comme la fréquence à laquelle
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Remplacez \( |H(\omega_c)| \) par son expression trouvée ci-dessus pour obtenir l'équation
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Élevez les deux côtés de l'équation ci-dessus au carré et réécrivez comme
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
Résolvez pour obtenir la solution
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Exemples de Filtre Passe-Bas du Premier Ordre
Soit \( R_1 = 100 \; \Omega \) et \( C_1 = 1 \; \mu F \)
Remplacez \( R_1 \) et \( C_1 \) par leurs valeurs numériques pour obtenir
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
Remarquez que pour mieux montrer la planéité de l'amplitude \( |H(\omega)| \) sur les fréquences autorisées par le filtre, nous représentons
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] dont l'unité est le décibel écrit \( dB \) sur un graphe semi-logarithmique.
À la fréquence de coupure \( \omega = \omega_c \), nous avons
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
et
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
Remarquez que \( \omega_c \) est appelée la fréquence de coupure \( - 3 \text{ dB} \).
Pente du Graphique pour de Grandes Valeurs de \( \omega \)
Pour de grandes valeurs de \( \omega \), le terme \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) est beaucoup plus grand que \( 1 \) et nous pouvons donc faire l'approximation suivante.
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
Pour \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
Pour \( \omega = 10 \; \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
Le facteur \( 10 \) est une décade et nous disons donc que la pente du graphique est de \( -20 \; \text{dB} \) par décade.
Les points \( A \) et \( B \) sur le graphique ci-dessous illustrent les résultats ci-dessus. Le point \( A \) est à la fréquence \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) et le point \( B \) est à la fréquence \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). En passant de \( A \) à \( B \), l'amplitude dim
inue de \( 20 \; \text{dB} \).
Remarquez que ce comportement se produit pour de grandes valeurs de \( \omega \) au-dessus de la fréquence de coupure.
Ci-dessous sont montrés le graphique de \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) et la phase \( \Phi(\omega) \).
Figure 2 - Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Premier Ordre RC
La phase \( \Phi \) est égale à \( -45^{\circ} \) à \( \omega = \omega_c \)
Figure 3 - Phase du Filtre Passe-Bas du Premier Ordre RC
Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Second Ordre
Nous analysons maintenant la fonction de transfert de deux filtres passe-bas en cascade.
En général, la fonction de transfert \( H(s) \) du circuit en cascade
indiqué ci-dessous
Figure 4 - Deux Circuits En Cascade
est donnée par
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
Nous utilisons maintenant la formule ci-dessus (I) pour trouver la fonction de transfert du filtre passe-bas du second ordre, qui est constituée de deux filtres passe-bas en cascade, comme indiqué ci-dessous.
Figure 5 - Filtre Passe-Bas RC du Second Ordre
Remplacez \( Z_2 = R_2 \), \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \), \( Z_3 = R_3 \) et \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) dans la formule (I) ci-dessus pour obtenir
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
Remarquez que la puissance la plus élevée de \( s \) est égale à \( 2 \) et donc le filtre est d' ordre \( 2 \).
Remplacez \( s = j \; \omega \) et \( s^2 = - \omega^2\) dans \( H(s) \) ci-dessus pour obtenir
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
Soit
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
et
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
et réécrivez \( H(\omega) \) comme
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
Le module et la phase de \( H(\omega) \) sont donnés par
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
La Fréquence de Coupure \( - 3 \text{ dB} \) du Filtre Passe-Bas du Second Ordre
La fréquence angulaire de coupure \( \omega_c \) est la fréquence à laquelle
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
Remplacez \( |H(\omega_c)| \) par son expression ci-dessus pour obtenir l'équation
\( \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \)
Élevez les deux côtés au carré et réécrivez l'équation comme
\( A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \)
L'équation ci-dessus a la forme quadratique en \( \omega_c^2 \) et a donc 4 solutions mais une seule est valide pour ce problème et est donnée par
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
Réécrivez la solution ci-dessus comme
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
qui peut être réécrit comme
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
Soit \( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \) ce qui donne \( B^2 = 4 \; A \; r^2 \) et \( B^4 = 16 \; A^2 \;
r^4 \)
Remplacez \( B^2 \) et \( B^4 \) dans la dernière expression de \( \omega_c \) et simplifiez pour obtenir
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
Pente du Graphique pour de Grandes Valeurs de \( \omega \)
Nous développons d'abord l'expression dans le dénominateur de \( | H(\omega) | \)
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
Pour de grandes valeurs de \( \omega \), le terme \( A^2 \omega^4 \) est beaucoup plus grand que tous les termes sous la racine carrée dans le dénominateur et nous pouvons donc faire l'approximation suivante.
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
Pour \( \omega = \omega_1 \), \[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
Pour \( \omega = 10 \omega_1 \), \[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
Le facteur \( 10 \) représente une décennie et nous disons donc que la pente du graphique est \( -40 \; \text{dB} \) par décennie.
Ci-dessous sont montrés le graphique de \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) et la phase \( \Phi(\omega) \).
Les points \( A \) et \( B \) sur le graphique ci-dessous illustrent les résultats ci-dessus. Le point \( A \) est à la fréquence \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) et le point \( B \) est à la fréquence \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\). En passant de \( A \) à \( B \), l'amplitude diminue de \( 40 \; \text{dB} \).
Figure 2 - Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Second Ordre RC-RC
Figure 3 - Phase du Filtre Passe-Bas du Second Ordre RC-RC
