Des exemples de l'utilisation de la transformée de Laplace pour résoudre les équations différentielles ordinaires (EDO) sont présentés.
L'un des principaux avantages de l'utilisation de la transformée de Laplace pour résoudre les équations différentielles est que la transformée de Laplace convertit une équation différentielle en une équation algébrique.
Des calculs lourds impliquant la décomposition en fractions partielles sont présentés dans l'annexe en bas de la page.
Exemple 1
Utilisez la transformée de Laplace pour résoudre l'équation différentielle
\[ - 2 y' + y = 0 \]
avec les conditions initiales \( y(0) = 1 \) et \( y \) est une fonction du temps \( t \).
Solution de l'exemple 1
Soit \( Y(s) \) la transformée de Laplace de \( y(t) \)
Prenez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation différentielle donnée: \( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace pour réécrire l'équation comme
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez la propriété de dérivation pour réécrire le terme \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \).
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
Développez ce qui précède comme
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
Remplacez \( y(0) \) par sa valeur numérique donnée
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
Résolvez ce qui précède pour \( Y(s) \)
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
Nous utilisons maintenant la formule (3) dans le tableau des formules de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( Y(s) \) obtenue ci-dessus comme
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
Remarque: Vérifiez la solution
vérifions que la solution obtenue \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) satisfait l'équation différentielle donnée
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
Simplifiez ce qui précède
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ; l'équation différentielle est satisfaite.
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ; valeur initiale également satisfaite.
Exemple 2
Utilisez la transformée de Laplace pour résoudre l'équation différentielle
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
avec les conditions initiales \( y(0) = 2 \) et \( y'(0) = - 1 \) et \( y \) est une fonction du temps \( t \).
Solution de l'exemple 2
Soit \( Y(s) \) la transformée de Laplace de \( y(t) \)
Appliquez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation différentielle donnée
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace pour réécrire l'équation comme
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez les première et deuxième propriétés dérivées pour réécrire les termes \( \mathscr{L}\{ y"\} \) et \( \mathscr{L}\{ y'\} \) et simplifiez le côté droit.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
Remplacez \( y(0) \) et \( y'(0) \) par leurs valeurs numériques et développez
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
Regroupez les termes similaires et conservez les termes avec \( Y(s) \) à gauche
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
Factorisez \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
Résolvez cela pour \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
Développez le côté droit en fractions partielles (voir détails dans Appendice A en bas de la page)
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
Nous utilisons maintenant la formule (3) dans le tableau de formules de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( Y(s) \), qui est donnée par
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
Vous pouvez vérifier que la solution obtenue satisfait l'équation différentielle et les valeurs initiales données.
Exemple 3
Utilisez la transformée de Laplace pour résoudre l'équation différentielle
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
avec les conditions initiales \( y(0) = -1 \) et \( y'(0) = 2 \) et \( y \) est une fonction du temps \( t \).
Solution de l'exemple 3
Soit \( Y(s) \) la transformée de Laplace de \( y(t) \)
Appliquez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation différentielle donnée
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace pour réécrire l'équation comme
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
Utilisez les première et deuxième propriétés dérivées pour réécrire les termes \( \mathscr{L}\{ y"\} \) et \( \mathscr{L}\{ y'\} \) et simplifiez le côté droit.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
Remplacez \( y(0) \) et \( y'(0) \) par leurs valeurs numériques et développez
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
Regroupez les termes similaires et conservez les termes avec \( Y(s) \) du côté gauche de l'équation
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
Factorisez \( Y(s) \)
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
Résolvez cela pour \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
Factorisez le dénominateur sur les nombres complexes en résolvant d'abord l'équation
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
ce qui donne deux solutions complexes
\( S_1 = -1 + j \) et \( s_2 = -1 - j \)
Factorisez
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
Développez le côté droit ci-dessus en fractions partielles (voir Appendice B en bas de la page)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
avec
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
et
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Utilisez les formules dans le tableau de formules pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \), qui est donnée par
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
Écrivons \( A \) et \( B \) sous forme exponentielle
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
Remplacez \( s_1 \), \( s_2 \), \( A \) et \( B \) par leurs valeurs et réécrivez \( y(t) \) comme
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
Factorisez \( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \) et regroupez les exposants
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
Utilisez la formule d'Euler ( \( e^jx = \cos x + j \sin x \) ) pour simplifier les termes à l'intérieur des crochets
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
ce qui se simplifie en
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
Vous pouvez vérifier que la solution obtenue satisfait l'équation différentielle et les valeurs initiales données.
Exemple 4
Utilisez la transformée de Laplace pour résoudre l'équation différentielle
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
avec les conditions initiales \( y(0) = 1 \) et \( y'(0) = -1 \).
Solution de l'exemple 4
Soit \( Y(s) \) la transformée de Laplace de \( y(t) \)
Appliquez la transformée de Laplace des deux côtés de l'équation différentielle donnée
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
Utilisez la propriété de linéarité de la transformée de Laplace pour développer le côté gauche et utilisez le tableau pour évaluer le côté droit.
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Utilisez les première et deuxième propriétés dérivées pour réécrire les termes \( \mathscr{L}\{ y"\} \) et \( \mathscr{L}\{ y'\} \) et simplifiez le côté droit.
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Remplacez \( y(0) \) et \( y'(0) \) par leurs valeurs numériques et développez
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
Regroupez les termes similaires et conservez les termes avec \( Y(s) \) du côté gauche de l'équation
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Factorisez \( Y(s) \) du côté gauche
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
Résolvez cela pour \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
Factorisez le terme \( s^2 - s - 2 \) au dénominateur
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
qui peut être développé en fractions partielles comme (voir Appendice C en bas de la page pour les détails).
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
Nous utilisons maintenant les formules dans le tableau de formules de la transformée de Laplace pour trouver la transformée de Laplace inverse de \( Y(s) \), qui est donnée par
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
Décomposition en fractions partielles de l'exemple 2
Factorisez le dénominateur
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
Développez en fractions partielles
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
Multipliez tous les termes ci-dessus par \( (s-3)(s+1) \) et simplifiez
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
Fixez \( s = 3 \) dans l'équation (1)
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
Simplifiez et résolvez pour \( B \)
\( B = 1/4 \)
Fixez \( s = - 1 \) dans l'équation (1)
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
Simplifiez et résolvez pour \( A \)
\( A = \dfrac{7}{4} \)
Décomposition en fractions partielles de l'exemple 3
Décomposition en fractions partielles de \( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
Multipliez tous les termes ci-dessus par \( (s - s_1)(s - s_2) \) et simplifiez
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
Évaluez cela à \(s=s_1 \)
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
Simplifiez
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
Résolvez pour \( A \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
Évaluez les deux côtés de l'équation (1) à \( S = s_2 \) et trouvez \( B \) de manière similaire à la manière de trouver \( A \) ci-dessus
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
Développer en fractions partielles à partir de l'exemple 4
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
Factorisez les dénominateurs
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
Simplifiez le terme de droite
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
Exprimez en fractions partielles
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
Multipliez tous les termes ci-dessus par le dénominateur \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) et simplifiez
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
Sélectionnez des valeurs de \( s \) qui simplifient les calculs pour les coefficients \( A, B, C \) et \( D \)
Fixez \( s = 2 \) des deux côtés de l'équation (1)
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
Simplifiez
\( 3 = 39 D \)
Résolvez pour \( D \)
\( D = \dfrac{1}{13} \)
Fixez \( s = -1 \) des deux côtés de l'équation (1)
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
Simplifiez
\( 3 - 30 = - 30 C \)
Résolvez pour \( C \)
\( C = \dfrac{9}{10}
\)
Fixez \( s = 0 \) des deux côtés de l'équation (1)
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
Simplifiez
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
Substituez \( C \) et \( D \) par leurs valeurs numériques obtenues ci-dessus et résolvez pour B pour obtenir
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
Fixez \( s = 1 \) des deux côtés de l'équation (1)
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
Substituez \( B, C \) et \( D \) par leurs valeurs numériques obtenues ci-dessus et résolvez pour A pour obtenir
\( A = \dfrac{3}{130} \)
Ainsi
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)