Définition : Si \( f(t) \) est une fonction unilatérale telle que \( f(t) = 0 \) pour \( t \lt 0 \), alors la transformée de Laplace \( F(s) \) est définie par
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
où \( s \) peut être un nombre complexe pour lequel l'intégrale impropre ci-dessus converge.
Une définition plus précise de la fonction de Laplace pour accommoder des fonctions telles que \( \delta(t) \) est donnée par
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
Calculs de transformées de Laplace avec des exemples et des solutions sont inclus.
Fonction | Transformée |
|---|---|
| \( f(t) \) | \( F(s) \) |
| \( u(t) \) | \( \dfrac{1}{s} \) |
| \( t^n \) | \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) |
| \( e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{s+a} \) |
| \( t^n e^{-at} \) | \( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) |
| \( \sin \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \sin \omega t \) | \( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \cos \omega t \) | \( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \cos \omega t \) | \( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \sinh \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \cosh \omega t \) | \( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \delta( t - \tau) \) | \( e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
| \( u( t - \tau) \) | \( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
Note
1) \( \delta( t ) \) est la fonction delta de Dirac, également appelée fonction impulsionnelle en ingénierie.
2) \( u( t) \) est la fonction de Heaviside.