Des exemples de calculs de transformées de Laplace avec des explications pas à pas sont présentés.
Si \( f(t) \) est une fonction unilatérale telle que \( f(t) = 0 \) pour \( t \lt 0 \), alors la transformée de Laplace
\( F(s) \) est définie par l'intégrale impropre
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
ou la définition plus précise pour accommoder des fonctions telles que la fonction delta \( \delta (t) \) comme nous le verrons dans l'exemple 5 ci-dessous.
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
où \( s \) est autorisé à être un nombre complexe pour lequel l'intégrale impropre ci-dessus converge.
Dans ce qui suit, \( j \) est l'unité imaginaire définie par \( j = \sqrt{-1} \)
Exemple 1
Trouver la transformée de Laplace de la fonction \( f(t) \) définie par
\[ f(t) = 1 \]
Solution de l'exemple 1
Utiliser la définition de la transformée de Laplace donnée ci-dessus
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
\( f(t) = 1 \) Sur l'intervalle d'intégration \( [0, \infty ) \), donc \( F(s) \) se simplifie en
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
Calculer l'intégrale impropre ci-dessus comme suit
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
Si la partie réelle de \( s \) est supérieure à zéro, \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\) et donc l'intégrale converge et \( F(S) \) est donnée par
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
Exemple 2
Trouver la transformée de Laplace de la fonction \( f(t) \) définie par
\[ f(t) = e^{at} \]
Solution de l'exemple 2
Utiliser la définition donnée ci-dessus
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
Simplifier les exposants
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
Calculer l'intégrale impropre ci-dessus
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
Pour la partie réelle de \( s \) plus grande que la partie réelle de \( a\) , \( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\) et donc l'intégrale converge et \( F(S) \) est donnée par
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
Exemple 3
Trouver la transformée de Laplace de la fonction \( f(t) \) définie par
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
Solution de l'exemple 3
Utiliser la définition donnée ci-dessus
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st
} dt \)
Exprimer \( \sin(\omega t) \) en termes d'exponentielles comme suit
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
Substituer et calculer l'intégrale
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
Diviser l'intégrande et réécrire l'intégrale comme une somme/différence d'intégrales
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - s t}}{2 j} dt \)
Regrouper les exposants et factoriser \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
Évaluer l'intégrale
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega-s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
Si la partie réelle de \( s \) est supérieure à zéro , \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) et \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \) donc l'intégrale converge et \( F(S) \) est donnée par
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
Mettre au même dénominateur et simplifier pour obtenir
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
Exemple 4
Trouver la transformée de Laplace de la fonction \( f(t) = \cosh(\omega t) \).
Solution de l'exemple 4
Utiliser la définition de la transformée de Laplace
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
Exprimer \( \cosh(\omega t) \) en termes d'exponentielles comme suit
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
Substituer et calculer l'intégrale
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
Diviser l'intégrande
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - s t}}{2} dt \)
Regrouper les exposants et factoriser \( t \)
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
Évaluer les intégrales
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega+s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)
Pour la partie réelle de \( s \) plus grande que \( \omega \) , \( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) et \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \), donc l'intégrale converge et est donnée par
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega
- s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
et se simplifie en
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
Exemple 5 Transformée de Laplace des Fonctions Delta de Dirac.
Trouver la transformée de Laplace des fonctions delta : a) \( \delta (t) \) et b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
Solution de l'exemple 5
Nous rappelons d'abord que les intégrales impliquant des fonctions delta sont évaluées comme suit
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
1 & \text{pour} A \lt a \lt B \\
0 & \text{sinon} \\
\end{cases}
\]
a)
Pour trouver la transformée de Laplace de \( \delta (t) \), nous avons besoin de la définition précise de la transformée de Laplace donnée par
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
L'intervalle d'intégration commence à \( 0^{-} \) pour accommoder la fonction delta \( \delta(t) \) dans l'intégration comme montré ci-dessus.
Évaluer l'intégrale ci-dessus
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
Pour la fonction \( \delta (t - a) , a \gt 0\),
Comme \( a \gt 0 \), la définition de la transformée de Laplace donne
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)