Le calcul de la puissance moyenne dans les circuits AC est présenté avec des exemples et leurs solutions. Des problèmes avec solutions sont également inclus.
Considérez le circuit ci-dessous
Soit l'impédance \( Z \) écrite sous forme polaire
comme \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
Soit \( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
donc
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
La puissance instantanée \( P(t) \) fournie à l'impédance \( Z \) est donnée par
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
La puissance moyenne est définie par
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
Remplacez \( P(t) \) par l'expression trouvée ci-dessus et écrivez la puissance moyenne comme
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
Développez : \( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \) et substituez dans \( P_a \)
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
Écrivez l'intégrale comme une somme de deux intégrales : une intégrale à gauche et une deuxième intégrale à droite comme suit :
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
En utilisant l'identité trigonométrique : \( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \) pour réécrire l'intégrale à droite comme
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
Utilisez la formule \( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \) pour simplifier \( \cos 2 \omega T \)
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
Utilisez l'identité trigonométrique \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) dans l'intégrale à gauche et écrivez
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
Écrivez l'intégrale comme une somme de deux intégrales
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
De la même manière que ci-dessus, on peut montrer que \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
Donc \( P_a \) est donné par
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Le terme \( \cos \theta \) dans la formule ci-dessus est appelé le facteur de puissance.
Remarquez que, en général, \( |Z| \) et \( \cos \theta \) dépendent de la fréquence et donc la puissance moyenne dépend de la fréquence de la source de tension (ou de courant).
Comme indiqué ci-dessus, les calculs peuvent être assez difficiles et donc un calculateur de puissance pour un circuit série RLC est inclus pour plus de pratique et d'investigations.
Exemple 1
Dans le circuit série RLC montré ci-dessous, la tension source est donnée par \( v_i = 5 \cos (\omega t) \), la capacité du condensateur \( C = 100 \; \mu F \), l'inductance de l'inducteur \( L = 100 \; mH\) et la résistance du résistor \( R = 1000 \; \Omega \) et la fréquence \( f = 2000 \; Hertz \).
a) Trouvez l'impédance totale \( Z \) du circuit série RLC et exprimez-la sous forme polaire.
b) Trouvez la puissance moyenne fournie à l'impédance totale \( Z \).
Solution à l'Exemple 1
a)
Pour un circuit série RLC \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) rad/s
Remplacez \( R \), \( L \), \( C \) et \( \omega \) par leurs valeurs numériques pour obtenir
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
L'impédance \( Z \) est écrite sous forme complexe standard \( Z = a + j b \)
Sous forme polaire, la même impédance est écrite comme \( Z = |Z| e^{j\theta} \)
où \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \) et \( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
Donc
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
Remplacez \( V_0 \), \( |Z| \) et \( \theta \) par leurs valeurs numériques
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; \text{Watts} \)
Exemple 2
Montrez que la puissance moyenne délivrée à un circuit RLC en série, comme celui de l'exemple 1, est maximale pour une fréquence \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) et trouvez une formule pour cette puissance maximale.
Solution de l'exemple 2
a) Pour un circuit RLC en série, l'impédance totale est donnée par : \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
La fréquence angulaire \( \omega \) est liée à la fréquence \( f \) par la formule : \( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
Substituez \( \omega \) par \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) dans \( Z \) pour obtenir
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
ce qui se simplifie à
\( Z = R \)
Pour la fréquence \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), l'impédance \( Z \) est réelle et donc
\( |Z| = R \)
et l'argument \( \theta \) de \( Z \) est égal à zéro. Ainsi, \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) a une valeur maximale.
Pour la fréquence \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \), le facteur de puissance \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) est maximal et \( |Z| \) est minimal, ce qui donne une puissance moyenne avec une valeur maximale donnée par
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
Exemple 3
Dans un circuit RLC en série, comme celui de l'exemple 1 ci-dessus, la tension de source est donnée par \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \), la capacité du condensateur \( C = 470 \mu \)F, l'inductance de l'inducteur \( L = 50 \)mH et la résistance de la résistance est \( R = 100 \; \Omega \).
a) Exprimez la puissance moyenne \( P_a \) donnée par sa formule ci-dessus et tracez un graphique de \( P_a \) en fonction de la fréquence angulaire \( \omega \) et trouvez l'emplacement du maximum de \( P_a \).
b) Vérifiez que la puissance est maximale à l'angle \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \) (ou la fréquence \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)) et est donnée par \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) comme expliqué dans l'exemple 2 ci-dessus.
Solution de l'exemple 3
Pour un circuit RLC en série \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
Module : \( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
Argument : \( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
La puissance moyenne \( P_a \) est donnée par
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
Substituez \( V_0 \) et \( |Z| \) par leurs expressions
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
Substituez \( R \), \( L \) et \( C \) par leurs valeurs pour obtenir \( P_a \) en fonction de \( \omega \)
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
Le graphique de \( P_a (\omega ) \) en fonction de \( \omega \) est montré ci-dessous.
La calculatrice graphique GeoGebra gratuite a été utilisée pour tracer et localiser le maximum comme indiqué dans le graphique.
b)
Dans l'exemple 2 ci-dessus, il a été expliqué que la puissance moyenne est maximale à
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) rad/s
La puissance maximale est donnée par : \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) Watts
Les deux valeurs calculées de \( \omega_r \) et \( P_a max \) sont égales aux valeurs trouvées graphiquement ci-dessus.