Calculer l'impédance équivalente dans les circuits CA

Table des matières

Des exemples sur la façon d'utiliser les règles des impédances connectées en série et en parallèle pour calculer les impédances équivalentes dans divers circuits CA et les présenter sous forme de nombres complexes en formes standard, complexe et polaire. Des solutions détaillées aux exemples sont également présentées.

Exemples avec Solutions

Exemple 1
Trouvez l'impédance équivalente entre les points A et B dans le circuit ci-dessous et écrivez-la sous forme exponentielle et polaire. .

Solution de l'exemple 1
Soit \( Z_1 \) l'impédance de la résistance R et donc \( Z_1 = R\)
Soit \( Z_2 \) l'impédance du condensateur \( C \) et de l'inducteur \( L \) qui sont en parallèle.
\( Z_1 \) et \( Z_2 \) sont en série et l'impédance équivalente \( Z_{AB} \) est donnée par la règle des impédances en série par
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)

L'impédance d'un condensateur avec une capacité \( C \) en forme complexe est égale à \( \dfrac{1}{ j \omega C} \)
L'impédance d'un inducteur avec une inductance \( L \) en forme complexe est égale à \( j \omega L \)
Nous utilisons maintenant la règle des impédances en parallèle pour calculer \( Z_2 \) comme
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C}} \)
ce qui peut être écrit comme
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1}{j\omega L} + j \omega C \)
Écrivez le côté droit avec un dénominateur commun
\( \dfrac{1}{Z_2} = \dfrac{1-\omega^2 C L}{j\omega L} \)
Résoudre pour \( Z_2 \)
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Remplacez \( Z_1 \) et \( Z_2 \) par leurs expressions pour obtenir \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} = R + \dfrac{j\omega L}{ 1-\omega^2 C L} \)
Trouvez le module \( |Z_{AB}| \) et l'argument \( \theta \) de \( Z_{AB} \)
\( |Z_{AB}| = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \)
\( \theta = \arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)} \)
Sous forme exponentielle, l'impédance équivalente est donnée par
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } e^{\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)
Sous forme polaire, elle est écrite comme
\( Z_{AB} = \sqrt {R^2 + \left(\dfrac{\omega L}{ 1-\omega^2 C L )} \right)^2 } \; \angle \; {\arctan \dfrac{\omega L}{R(1-\omega^2 C L)}} \)

Exemple 2
Trouvez l'impédance équivalente entre les points A et B dans le circuit donné ci-dessous et écrivez-la sous forme exponentielle et polaire en considérant :
\( L_1 = 20 \; mH \) , \( C_1 = 10 \; \mu F \) , \( L_2 = 40 \; mH \) , \( C_2 = 30 \; \mu F \) la fréquence du signal \( f = 1.5 \; kHz \)

Solution de l'exemple 2
Soit \( Z_1 \) l'impédance du condensateur \( C_1 \) et de l'inducteur \( L_1 \) qui sont en parallèle.
Soit \( Z_2 \) l'impédance du condensateur \( C_2 \) et de l'inducteur \( L_2\) qui sont en parallèle.
\( Z_1 \) et \( Z_2 \) sont en série comme indiqué ci-dessous, donc en utilisant la règle des impédances en série pour calculer \( Z_{AB} \) comme suit
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_2 \)


Nous utilisons maintenant la règle des impédances en parallèle pour calculer \( Z_1 \) et \( Z_2 \) comme suit
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{ j \omega C_1}} \)
réécrivez cela comme
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1}{j\omega L_1} + j \omega C_1 \)
écrivez le côté droit avec un dénominateur commun
\( \dfrac{1}{Z_1} = \dfrac{1 - \omega^2 L_1 C_1}{j\omega L_1} \)
Résoudre pour \( Z_1 \)
\( Z_1 = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} \)
\( Z_2 \) peut être calculé de la même manière que \( Z_1 \) et est donné par
\( Z_2 = \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Nous substituons maintenant \( Z_1 \) et \( Z_2 \) par leur expression dans \( Z_{AB} \) pour obtenir
\( Z_{AB} = \dfrac{j\omega L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{j\omega L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \)
Factorisez \( j \omega \) et réécrivez \( Z_{AB} \) comme
\( Z_{AB} = j \omega \left (\dfrac{ L_1}{1 - \omega^2 L_1 C_1} + \dfrac{ L_2}{1 - \omega^2 L_2 C_2} \right) \)
Remplacez par les valeurs numériques de \( L_1 , C_1 , L_2 , C_2 \) et \( \omega = 2 \pi f \) dans \( Z_{AB} \)
\( Z_{AB} \approx - j 14.81 \)
Remarquez que \( Z_{AB} \) est purement imaginaire et donc le module \( |Z_{AB}| \) et l'argument \( \theta \) de \( Z_{AB} \) sont donnés par
\( |Z_{AB}| \approx 14.81 \)
\( \theta = - \pi / 2 \)
Forme exponentielle
\( Z \approx 14.81 \; e^{-j \pi/2} \)
Forme polaire
\( Z \approx 14.81 \angle - \pi/2 \)

Exemple 3
Trouvez l'impédance équivalente entre les points A et B dans le circuit donné ci-dessous et écrivez-la sous forme exponentielle et polaire étant donné que
\( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) la fréquence du signal \( f = 0.5 \; kHz \)

Solution de l'exemple 3
\( Z_1 = R_1 \)
\( Z_2 = \dfrac{1}{j \omega C_1} \)
\( Z_3 = R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2} \)
\( Z_2 \) et \( Z_3 \) sont en parallèle et leur impédance équivalente \( Z_{2,3} \) en utilisant la règle des impédances en parallèle est donnée par
\( \dfrac{1}{Z_{2,3}} = \dfrac{1}{Z_2} + \dfrac{1}{Z_3} \)
\( Z_{2,3} = \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)


\( Z_1 \) et \( Z_{2,3} \) sont en série, donc
\( Z_{AB} = Z_1 + Z_{2,3} = Z_1 + \dfrac{Z_2 \cdot Z_3}{Z_2 + Z_3} \)
Substituez
\( Z_{AB} = R_1 + \dfrac{\dfrac{1}{j \omega C_1} \cdot (R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2})}{\dfrac{1}{j \omega C_1} + R_2 + \dfrac{1}{j \omega C_2}} \)
Substituez les valeurs numériques de \( R_1 = 20 \; \Omega \) , \( C_1 = 50 \; \mu F \) , \( C_2 = 40 \; \mu F \) , \( R_2 = 80 \; \Omega \) et la fréquence du signal \( f = 0.5 \; kHz \) pour obtenir
\( Z_{AB} \approx 20.49 -6.29 j \)
Module de \( Z_{AB} \)
\( | Z_{AB} | \approx \sqrt{20.49^2 + (-6.29)^2 } = 21.43\)
Argument de \( Z_{AB} \)
\( \theta \approx \arctan (\dfrac{-6.29}{20.49}) = -0.20 rad \) ou \( \theta = -17.07^{\circ} \)
Donc sous forme exponentielle
\( Z_{AB} \approx 21.43 e^{ -0.20 j} \)
et sous forme polaire
\( Z_{AB} \approx 21.43 \angle -17.07^{\circ} \)

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