Un calculateur pour calculer l'impédance équivalente d'une résistance, d'un condensateur et d'une bobine en parallèle. Le calculateur donne l'impédance sous forme de nombres complexes en forme standard, son module et son argument qui peuvent être utilisés pour écrire l'impédance en forme exponentielle et polaire.
\( \) \( \) \( \)
Nous donnons d'abord les formules utilisées dans le calculateur RLC parallèle et la preuve de ces formules est présentée dans la partie inférieure de la page.
Soit
\( Z_R = R \) , \( Z_C = \dfrac{1}{j \omega C} \) , \( Z_L = j \omega L\)
Appliquons la règle des impédances des circuits en parallèle pour trouver l'impédance équivalente \( Z \) comme suit
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{Z_R} + \dfrac{1}{Z_C} + \dfrac{1}{Z_L} \)
\( = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{1}{j \omega C}} + \dfrac{1}{j \omega L} \)
Soit
\( X_L = \omega L \) et \( X_C = \dfrac{1}{\omega C} \)
et réécrivons ce qui précède comme
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{1}{\dfrac{X_C}{j}} + \dfrac{1}{j X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + \dfrac{j}{{X_C}} - j \dfrac{1}{ X_L} \)
\( \dfrac{1}{Z} = \dfrac{1}{R} + j (\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} ) \)
Le Module \( \rho \) du nombre complexe ci-dessus est donné par
\( \rho = \sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2} \)
et son argument \( \alpha \) est donné par
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L}}{\dfrac{1}{R}} \right) \)
réarrangeons
\( \alpha = \arctan \left(\dfrac{R}{X_C}-\dfrac{R}{X_L} \right) \)
Nous utilisons maintenant la forme exponentielle du nombre complexe pour écrire
\( \dfrac{1}{Z} = \rho e^{j\alpha} \)
Nous écrivons maintenant l'impédance équivalente \( Z \) sous forme de nombre complexe en exponentielle en prenant le réciproque de ce qui précède
\( Z = \dfrac{1}{\rho} e^{-j \alpha} \)
En écrivant \( Z \) sous la forme \( Z = r e^{j\theta} \), nous avons
le module de \( Z \) comme
\( r = 1/\rho = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
et l'argument de \( Z \) comme
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( f = 1.5 \; kHz \) , \( C = 15 \; \mu F \) , \( L = 20 \; mH \) et \( R = 50 \; \Omega \)
\( X_L = \omega L = 2 \pi f L = 2 \pi 1.5 \times 10^3 \times 20 10^{-3 } = 188.50 \)
\( X_C = \dfrac{1}{\omega C} = \dfrac{1}{ 2\pi f C} = \dfrac{1}{ 2\pi 1.5 \times 10^3 \times 15 10^{-6}} = 7.07\)
Module: \( \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{R}\
right)^2 + \left(\dfrac{1}{{X_C}} - \dfrac{1}{ X_L} \right)^2}} \)
\( = \dfrac{1}{\sqrt { \left(\dfrac{1}{50}\right)^2 + \left(\dfrac{1}{{7.07}} - \dfrac{1}{ 188.50} \right)^2}} \)
\( = 7.27 \)
Argument: \( \arctan \left(\dfrac{R}{X_L}-\dfrac{R}{X_C} \right) \)
\( = \arctan \left(\dfrac{50}{188.50}-\dfrac{50}{7.07} \right) \)
\( = - 81.64^{\circ} \)
Vous pouvez entrer les valeurs données dans le calculateur et vérifier les résultats.