Un calculateur et un traceur pour calculer et tracer l'amplitude et la phase de la fonction de transfert des filtres passe-bas du premier et du deuxième ordre sont présentés.
Dans ce qui suit, \( j \) est l'unité imaginaire et \( \omega \) est la fréquence angulaire donnée par \[ \omega = 2 \; \pi \; f \]
où \( f \) est la fréquence du signal d'entrée et \( s = j \; \omega\)
Ce calculateur et traceur sont liés à la fonction de transfert des filtres passe-bas étudiée sur ce site.
Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Premier Ordre
La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre
est donnée par
\[ H(s) = \dfrac{ 1}{1 + R_1 \; C_1 \; s } \]
ou
\[ H(\omega) = \dfrac{ 1}{1 + j \; R_1 \; C_1 \; \omega } \]
L'amplitude de \( H \) est donnée par
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
La phase de \( H \) est donnée par
\[ |\Phi(\omega)| = \arctan(0) - \arctan \left(\dfrac{R_1 \; C_1 \; \omega}{1}\right) = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
La fréquence de coupure \( -3 \; \text{dB} \) définie dans la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du premier ordre est donnée par
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
Fonction de Transfert du Filtre Passe-Bas du Deuxième Ordre
La fonction de transfert d'un filtre passe-bas du deuxième ordre
est donnée par
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
ou
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 R_3 C_2 C_3 \; \omega^2 + j \; (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; \omega + 1} \]
L'amplitude et la phase sont données par
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
La fréquence de coupure \( -3 \text{ dB} \) définie dans la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du deuxième ordre est donnée par
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
où \( r \) est également défini dans la fonction de transfert d'un filtre passe-bas du deuxième ordre .
Utilisation du Calculateur et du Traceur
Ce calculateur accepte les valeurs de la résistance \( R_1 \) et de la capacitance \( C_1 \) du filtre passe-bas du premier ordre et également les résistances \( R_2 \), \( R_3 \) et les capacitances \( C_2 \) et \( C_3 \) du filtre passe-bas du deuxième ordre.
Le calculateur donne les fonctions de transfert en termes de \( s \) et \( \omega \), les amplitudes, les phases et les fréquences de coupure des deux filtres.
REMARQUE que la sortie en bleu concerne le premier ordre et la sortie en rouge concerne le deuxième ordre.
Entrez les résistances et les capacitances, puis appuyez sur "Calculer".
Les graphiques de \( 20 \log_{10}{ | H(\omega |} \) et des phases \( \Phi(\omega) \) sont affichés et l'intervalle \( h \) entre les points peut être ajusté à l'aide d'un curseur.
Résultats
Graphique
REMARQUE Faites glisser ou cliquez à gauche, au centre et à droite, pour diminuer (à gauche) ou augmenter (à droite) l'intervalle \( h \) afin d'obtenir des graphiques bien échelonnés.
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