串联RLC电路对阶跃电压的响应

目录

使用拉普拉斯变换研究RLC电路对阶跃电压的响应。推导出了电流和所有电压的公式，并提供了数值示例及其详细解决方案。
可使用串联RLC电路的阶跃响应的在线计算器来检查手动计算结果。

串联RLC电路响应阶跃电压的电流和电压公式

问题
在下图电路中，已知电压源 \( v_i = V_0 \; u(t) \)，其中 \( V_0\) 是常数，\( u(t) \) 是单位阶跃函数。求电流 \( i \) 和电容器 \( C \)、电感器 \( L \)、电阻 \( R \) 上的电压随时间变化的表达式。假设 \( t = 0 \) 时的初始电流为零。

上述问题的解决方案
使用基尔霍夫电压定律写出
\( v_i - v_R - v_L - v_C = 0 \)       (I)
使用欧姆定律写出
\( v_R = R \; i \)
电容器的电压与充电电流之间的关系
\( \displaystyle v_C = \dfrac{1}{C} \; \int i dt \)
电感器的电压与充电电流之间的关系
\( \displaystyle v_L = L \; \dfrac{d i}{dt} \)
将 \( v_R \) , \( v_L \) 和 \( v_C \) 的表达式代入方程 (I)
\( \displaystyle v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt = 0 \)
对上述方程两边取拉普拉斯变换
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i - R i - L \dfrac{d i}{dt} - \dfrac{1}{C} \int i dt \} = \mathscr{L}\{ 0 \} \)
使用拉普拉斯变换的线性性质，并且 \( \mathscr{L}\{ 0 \} = 0 \) ，将上述方程重写为
\( \displaystyle \mathscr{L}\{ v_i \} - R \mathscr{L}\{ i \} - L \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} - \dfrac{1}{C} \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = 0 \)
由于 \( v_i(t) = V_0 \; u(t) \)，其中 \( V_0 \) 是常数且 \( u(t) \) 是单位阶跃函数，因此 \( \mathscr{L}\{ v_i \} = \dfrac{V_0}{s} \)
设 \( \mathscr{L}\{ i\} = I(s) \)
使用导数和积分的性质（参见拉普拉斯变换的公式和性质）写出
\( \mathscr{L} \left\{ \dfrac{d i}{dt} \right\} = s I(s) - i(0) = s I(s) \)，因为初始电流为零 \( i(0) = 0 \)
\( \displaystyle \mathscr{L} \left\{ \int i dt \right\} = \dfrac{I(s)}{s} \)
代入后，我们的方程变为
\( \dfrac{V_0}{s} - R \; I(s) - L \; s \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C s} = 0 \)
注意 我们已经将初始的微分方程从 \( t \) （时间）域转化为 \( s \) 域。
将上述方程中的所有项乘以 \( s \) 并简化
\( V_0 - R \; s \; I(s) - L \; s^2 \; I(s) - \dfrac{I(s)}{C} = 0 \)
将 \( I(s) \) 提出来并将上述方程重写为
\( I(s) (L \; s^2 + R \; s +\dfrac{1}{C}) = V_0 \)
求解 \( I(s) \) 并将其重写为
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{s^2 + \dfrac{R}{L} s + \dfrac{1}{L C} } \)
在分母中完成平方
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \dfrac{R}{2 L} \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)
设 \( \alpha = \dfrac{R}{2L} \)
将上述方程重写为
\( I(s) = \dfrac{V_0}{L} \times \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 } \)

现在我们考虑三种情况，取决于表达式 \( \dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) 的符号
情况1: \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) : 电路是欠阻尼的

设 \( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} \) 并将 \( I(s) \) 重写为
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\omega L} \times \dfrac{\omega}{ \left(s + \alpha \right)^2 + \omega^2 } \)
使用拉普拉斯变换的公式和性质求出 \( I(s) \) 的逆拉普拉斯变换
对于 \( t \ge 0 \) ， \( v_i (t) = V_0 \) ，我们有以下结果
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\omega L} \; \sin (\omega t) \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{\omega L} \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} - V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)

数值应用 - 示例 1 - 欠阻尼电路
设 \( V_0 = 1 \; V\) ，\( R = 10 \; \Omega \) ，\( L = 0.4 \; H \) 和 \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 156.25 \)
因此 \( \dfrac{1}{L C} \gt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ；电路是欠阻尼的
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{10}{2 \times 0.4} = 12.50 \)
\( \omega = \sqrt {\dfrac{1}{L C} - \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{10}{2 \times 0.4}\right)^2} = 223.26 \)
\( i(t) = \dfrac{1}{223.26 \times 0.4} \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
简化
\( i(t) = 0.011 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
可以按以下方法计算电压
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{2 \alpha}{\omega } \sin (\omega t) e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 0.11198 \; \sin (223.26 t) \; e^{-12.5 t} \)
\( v_L(t) = V_0 \left\{ \cos (\omega t)- \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \left\{ \cos \left(223.26t\right) - 0.0559875 \sin (223.26t ) \right\}e^{-12.5t} \)
\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \cos (\omega t) + \dfrac{\alpha}{\omega} \sin (\omega t) \right\} e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - \left\{ \cos (223.26t) + 0.055988 \sin (223.26t) \right\} e^{-12.5t} \)
你可以使用串联RLC电路阶跃响应的计算器来检查上述所有计算结果。

情况2: \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ：电路是过阻尼的

设 \( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 - \dfrac{1}{L C} } \) 并将 \( I(s) \) 重写为
\( I(s) = \dfrac{V_0}{\beta L} \times \dfrac{\beta}{ \left(s + \alpha \right)^2 - \beta^2 } \)
使用拉普拉斯变换的公式和性质求出 \( I(s) \) 的逆拉普拉斯变换
对于 \( t \ge 0 \) ， \( v_i (t) = V_0 \) ，我们有以下结果
\( i(t) = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \sinh (\beta t) \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{\beta L} \; \left\{ \dfrac{e^{\beta t} - e^{\beta t}} {2} \right\} \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} - \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)

数值应用 - 示例 2 - 过阻尼电路
设 \( V_0 = 1 \; V\) ，\( R = 200 \; \Omega \) ，\( L = 0.4 \; H \) 和 \( C = 50 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 50000\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 62500 \)
因此 \( \dfrac{1}{L C} \lt \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ；电路是过阻尼的
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{200}{2 \times 0.4} = 250 \)
\( \beta = \sqrt { \left(\dfrac{R}{2 L} - \dfrac{1}{L C}\right)^2} = \sqrt {\dfrac{1}{0.4 \times 50 \times 10^{-6}} - \left(\dfrac{200}{2 \times 0.4}\right)^2} = 111.80339 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{2\beta L} \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 0.01118 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)
\( v_R(t) = V_0 \dfrac{\alpha}{\beta } \; \left\{ e^{ (\beta - \alpha) t} - e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\(\quad \quad = 2.23613 \; \left\{ e^{ -138.2 t} - e^{ -361.8 t} \right\} \)

\( v_L (t) = \dfrac{V_0}{2\beta} \left\{ (\beta - \alpha) e^{ (\beta - \alpha) t} + (\beta + \alpha) e^{ ( - \beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = -0.617754 e^{ -138.2 t} + 1.617246 e^{ -361.8 t} \)

\( v_C(t) = V_0 - V_0 \left\{ \dfrac{\beta + \alpha}{2 \beta} e^{(\beta - \alpha) t} + \dfrac{\beta - \alpha}{2 \beta} e^{(-\beta - \alpha) t} \right\} \)
\( \quad \quad = 1 - 1.61806 e^{ -138.2 t} + 0.61806 e^{-361.8 t} \)
你可以使用串联RLC电路阶跃响应的计算器来检查上述所有计算结果。

情况3: \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ：电路是临界阻尼的

\( I(s) \) 简化为
\( I(s) = \dfrac{1}{ \left(s + \alpha \right)^2} \dfrac{V_0}{L} \)
使用拉普拉斯变换的公式和性质求出 \( I(s) \) 的逆拉普拉斯变换
对于 \( t \ge 0 \) ， \( v_i (t) = V_0 \) ，我们有以下结果
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_R(t) = R \; i(t) = \dfrac{R V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 \left( 1 - \alpha t \right) e^{-at} \)
\( v_C(t) = v_i(t) - v_R(t) - v_L(t) \)
\( \quad \quad = V_0 - 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} - V_0 e^{-at} \left( 1 - \alpha t \right) \)
\( \quad \quad = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)

数值应用 - 示例 3 - 临界阻尼电路
设 \( V_0 = 1 \; V\) ，\( R = 100 \; \Omega \) ，\( L = 0.4 \; H \) 和 \( C = 160 \;\mu F \)
\( \dfrac{1}{L C} = 15625\)
\( \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 = 15625 \)
因此 \( \dfrac{1}{L C} = \left(\dfrac{R}{2 L}\right)^2 \) ；电路是临界阻尼的
\( \alpha = \dfrac{R}{2L} = \dfrac{100}{2 \times 0.4} = 125 \)
\( i(t) = \dfrac{V_0}{ L} \; t \; e^{-\alpha t} \)
\( i(t) = 2.5 \; t \; e^{- 125 t} \)
\( v_R(t) = 2 V_0 \alpha \; t \; e^{-\alpha t} \)
\(\quad \quad = 250 e^{ - 125 t} \)
\( v_L(t) = L \; \dfrac{d i}{dt} = V_0 ( 1 - \alpha t ) e^{-at} \)
\( \quad \quad = (1 - 125) e^{ - 125 t} \)
\(v_C (t) = V_0 - V_0(1+\alpha t)e^{-\alpha t} \)
\( \quad \quad = 1 - (1 + 125) e^{ - 125 t} \)
你可以使用串联RLC电路阶跃响应的计算器来检查上述所有计算结果。

更多参考资料和链接