低通RC电路对方波的响应

拉普拉斯变换用于研究RC电路对方波输入的响应；提供了带有电压图的数值示例。
还包括一个在线计算器和绘图工具，用于低通RC电路对方波的响应。

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问题与解决方案

找出并绘制下图中电容器 \( C \)、电阻 \( R \) 上的电压和电流 \( i \) 随时间变化的曲线

已知输入电压 \( v_i(t) \) 为下图所示的方波。

问题解决方案
RC电路中电容器上的电压 \( V_C(s) \) 和输入电压 \( V_i(s) \) 在 \( s \) 域中的关系方程已确定。
\( V_i(s) - R \; C \; s \; V_C(s) - V_C(s) = 0 \) (I)
我们现在需要确定方波 \( v_i(t) \) 的拉普拉斯变换 \( V_i(s) \)。
我们首先将方波表达为移位单位阶跃函数的和，如下所示
\( \displaystyle v_i(t) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ u(t - n\;T)- u (t-(n+1/2)\;T) \right\} \)
我们对上述两边进行拉普拉斯变换，并利用拉普拉斯变换的线性特性来写
\( \displaystyle \mathscr{L} \{ v_i (t) \} = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L} \{ u(t - n\;T) \} - \mathscr{L} \{ u (t-(n+1/2)\;T) \} \right\} \)
移位单位阶跃函数 \( u(t - \alpha) \) 的拉普拉斯变换为
\( \dfrac{e^{-\alpha s }}{s} \)
我们使用上述公式将拉普拉斯变换 \( V_i(s) = \mathscr{L} \{ v_i (t) \} \) 写为
\( \displaystyle V_i(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} \)
将 \( V_i(s) \) 代入方程 (i) 中，并解出 \( V_C(s) \)，将所有含 \( V_C(s) \) 的项移到右边
\( \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \dfrac{ e^{-n\;T\;s}}{s} - \dfrac {e^{-(n+1/2)\;T \; s}}{s} \right\} = R \; C \; s \; V_C(s) + V_C(s) \)
解 \( V_C(s) \)
\( \displaystyle V_C(s) = \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T s} \right\} \) (II)

将有理表达式 \( \dfrac{V_0}{s(R\;C\;s + 1)} \) 分解成部分分式（参见附录-A），并重写为

\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = \dfrac{V_0}{s} - \dfrac{R\;C V_0}{R\;C s + 1} \)
在右侧的分数项中，分子和分母同时除以 \( R\;C \)，并将 \( V_0 \) 提出来，重写为
\( \dfrac{V_0}{s(R\;C s + 1)} = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \)
将上述公式代入 (II) 中 \( V_C(s) \) 的表达式，写成
\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} - e^{-(n+1/2)\;T \; s} \right\} \)
上述公式可写为

\( \displaystyle V_C(s) = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \\\\ \quad \quad \quad \quad - e^{-(n+1/2)\;T s} \left(\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \)

我们现在使用拉普拉斯变换的公式和性质来求出 \( V_C(s) \) 的逆拉普拉斯变换 \( v_C(t) \)（时间域）
我们需要应用逆拉普拉斯变换来从 \( V_C(s) \) 找到 \( v_C(t) \)
\( \displaystyle v_C(t) = \mathscr{L^{-1}} \left\{ V_c(s) \right\} \)
\( \displaystyle = V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left\{ \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-n\;T\;s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \\\\ \quad \quad \quad \quad - \mathscr{L^{-1}} \left\{ e^{-(n+1/2)\;T \; s} \left (\dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right) \right\} \right\} \)
方括号内的两个主要项可写为
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) \)
拉普拉斯变换性质中的性质2可写为
\( \mathscr{L^{-1}} ( e^{-\tau s} F(s) ) = u(t- \tau) f(t - \tau) \)，其中 \( f(t) \) 是 \( F(s) \) 的逆拉普拉斯变换
我们现在使用拉普拉斯变换公式来求解
\( \displaystyle \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} - \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( \displaystyle = \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s} \right\} - \mathscr{L^{-1}} \left\{ \dfrac{1}{s + \dfrac{1}{R\;C}} \right\} \)
\( = u(t) - u(t) e^{-\frac{t}{R\;C}} = u(t)(1 - e^{-\frac{t}{R\;C}} ) \)
使用上述所有公式，现在将 \( v_C(t) \) 写为
\( \displaystyle v_C(t) = \displaystyle V_0 \sum_{n=0}^{n=\infty} \left \{ u(t-nT) \; \left(1 - e^{- \dfrac{t - n \; T}{R \;C} } \right) \\\\ \quad \quad \quad \quad - u(t-(n+1/2)T) \; \left(1 - e^{-\dfrac{ t - (n + 1/2) T}{\; R \; C} } \right) \right\} \)

数值应用
设 \( V_0 = 10 \) V，\( R = 200 \; \Omega \) 和 \( C = 5 \) mF。
\( R\;C = 200 \times 5 \times 10^{-3} = 1 \) 秒
下图显示了输入 \(v_i(t) \) 作为由移位阶跃函数定义的方波，以及上面给出的电容器上的电压 \( v_C(t) \)。对于输入方波的不同周期 \( T \)，显示了四个图表。
a) \( T = 15 RC = 15 \) 秒

RC电路对方波响应，周期 T = 15 RC — 图3 - 输入方波和电容器上电压 v_C(t) 的图表，周期 T = 15 RC

b) \( T = 10 RC = 10 \) 秒

RC电路对方波响应，周期 T = 10 RC — 图4 - 输入方波和电容器上电压 v_C(t) 的图表，周期 T = 10 RC

c) \( T = 5 RC = 5 \) 秒

RC电路对方波响应，周期 T = 5 RC — 图5 - 输入方波和电容器上电压 v_C(t) 的图表，周期 T = 5 RC

d) \( T = 2 RC = 2 \) 秒

RC电路对方波响应，周期 T = 2 RC — 图6 - 输入方波和电容器上电压 v_C(t) 的图表，周期 T = 2 RC

低通RC电路对方波的响应

问题与解决方案

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