介绍了狄拉克函数\( \delta(t) \)和赫维赛德单位阶跃函数\( u(t) \)，并附有示例和详细解答。这两个函数用于各种工程系统的数学建模。还包括一些在建模电路响应于单位阶跃电压的示例。
\( \)\( \)\( \)
单位赫维赛德阶跃函数记作\( u(t) \)（也称为赫维赛德函数，记作\( H(t) \)），定义如下：
\(
u(t) =
\begin{cases}
0 & \text{对于 } t \lt 0 \\
1 & \text{对于 } t \ge 0 \\
\end{cases}
\)
因此可得
\( u(t - t_0) =
\begin{cases}
0, & \text{对于 } t \lt t_0 \\
1, & \text{对于 } t \ge t_0 \\
\end{cases}
\)
阶跃函数的主要用途之一是模拟开关。
假设我们需要在时间\( t = t_0 \)时对电路施加电压\( v(t) \)，则电压随时间的函数可表示为\( v(t) u(t-t_0) \)，使得
\( v(t) u(t-t_0)
\begin{cases} v(t) &\mbox{如果 } t \ge t_0 \\
0 & \mbox{如果 } t \lt t_0 \end{cases}
\)
例如，下面显示了\( t^2 u(t-1) \)的图形。
示例 1
计算以下积分：
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt \) b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt \) d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt \) e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt \)
示例 1 解答
a) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t) e^{t^2+1} dt = \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t - 0) e^{t^2+1} dt = e^{0^2+1} = e^1 = e \) 根据上面的性质1，因为\( -\infty \lt 0 \lt \infty \)
b) \( \displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} \delta(t-4) e^{2 \cos(0.5 \pi t)} dt = e^{\cos(0.5 \pi (4) )} = e^{ 2 \cos (2\pi) } = e^2 \) 根据上面的性质1，因为\( -\infty \lt 4 \lt \infty \)
c) \( \displaystyle \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t) (t^2 + e^{-t}) dt = \int_{0^{-}}^{\infty} \delta(t-0) (t^2 + e^{-t}) dt = 0^2 + e^{0} = 1\) 根据上面的性质1，因为\( 0^- \lt 0 \lt \infty \)
d) \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} \delta(t + 3) e^{3t} dt = \int_{0}^{\infty} \delta(t - (-3) ) e^{3t} dt = 0 \) 根据上面的性质2，因为\( - 3 \lt 0 \) 或 \( -3 \)在积分区间外。
e) \( \displaystyle \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t) \sin(3t) dt = \int_{0^{+}}^{\infty} \delta(t - 0) \sin(3t) dt = 0 \) 根据上面的性质2，因为\( 0 \lt 0^+ \) 或 \( 0 \)在积分区间外。
示例 2
计算以下函数的导数：
a) \( f(t) = u(t) - u(t-1) \) b) \( f(t) = 2 u(t) - 3 u(t-2) \)
示例 2 解答
a) \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-1) \)
b) \( f'(t) = 2 \delta(t) - 3 \delta(t-2) \)
示例 3
使用阶跃函数\( u(t) \)写出下图所示函数的方程及其导数。
a)
b)
c)
d)
示例 3 解答
a) \( f(t) = - u(t) \) , \( f'(t) = - \delta(t) \)
b) \( f(t) = u(t) - u(t-3) \) , \( f'(t) = \delta(t) - \delta(t-3) \)
c) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) \)
d) \( f(t) = u(t) - 2 u(t-1) + u(t-2) \) , \( f'(t) = \delta(t) - 2 \delta(t-1) + \delta (t-2)\)
