提供一个交互式计算器，用于求解具有常系数的二阶微分方程。
具有常系数 \( a \)、\( b \) 和 \( c \) 的线性二阶齐次微分方程具有以下一般形式 [1] 、[2] 、[3]：
\[
a \frac{d^2y}{dt^2} + b \frac{dy}{dt} + c y = 0
\]
要使用辅助方程（或特征方程）来求解此微分方程，首先需要找到辅助方程的根，该方程通过假设解的形式为 \( y(t) = e^{rt} \) 获得，因此 \( y'(t) = r e^{rt} \) 和 \( y''(t) = r^2 e^{rt} \)。
将 \( y(t) \)、\( y'(t)\) 和 \( y''(t) \) 代入微分方程，并因式分解如下：
\[
(a r^2 + b r + c) e^{rt} = 0
\]
由于 \( e^{rt} \) 不能为零，我们得到与微分方程相对应的辅助方程：
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
1. 写下辅助方程：
\[
a r^2 + b r + c = 0
\]
辅助方程的根的性质决定了解的行为：
令 \( \Delta = b^2 - 4 \; a \; c \)
1 - 如果 \( \Delta > 0 \) ，则根为
\( r_1 = \dfrac{-b+\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a} \) 和 \( r_2 = \dfrac{-b-\sqrt{b^2 - 4ac}}{2\;a}\)
是真实且不同的。一般解包含指数函数，如下所示。
\[
y(t) = C_1 e^{r_1 t} + C_2 e^{r_2 t}
\]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是通过初始条件确定的常数。
2 - 如果 \( \Delta = 0 \) ，则根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 是相等的，等于 \( -\dfrac{b}{2 \; a} \)。一般解包含乘以指数函数的线性函数 \( t \)。
\[
y(t) = ( C_1 + C_2 \; t ) e^{r_1 t}
\]
其中 \( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是通过初始条件或边界条件确定的常数。
3 - 如果 \( \Delta \lt 0 \) ，则根 \( r_1 \) 和 \( r_2 \) 是形如
\( r_1 = \dfrac{- b + i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a} \) 和 \( r_2 = \dfrac{- b - i \sqrt{4 a c - b^2}}{2 \;a }\) 的共轭复数。
微分方程的一般解包含正弦和余弦函数，如下所示：
\[
y(t) = e^{\alpha \; t} \left( C_1 \cos(\beta t) + C_2 \sin(\beta \; t) \right)
\]
其中
\( \alpha = \dfrac{- b }{2 \;a} \) 和 \( \beta = \dfrac{ \sqrt{4 a c - b^2} }{2 \;a} \)
\( C_1 \) 和 \( C_2 \) 是通过初始条件或边界条件确定的常数。
输入系数 \( a, b , c \) 以及初始条件 \( y(0) \) 和 \( y'(0) \) 为实数，然后按“求解”按钮。
解