多元函数的偏导数

本文介绍了例子和练习，展示了偏导数的计算方法。

普通导数处理的是单变量函数，而偏导数是一种导数类型，将普通导数的概念推广到多元函数。

形式上，函数 \( f(x_1, x_2, ..., x_n) \) 对其某个变量（例如 \( x_i \)）的偏导数记为 \( \dfrac{\partial f}{\partial x_i} \)。它表示函数 \( f \) 相对于变量 \( x_i \) 的变化率，而保持其他变量不变。

数学上，\( f \) 对 \( x_i \) 的偏导数定义为： \[ \dfrac{\partial f}{\partial x_i} = \lim_{h \to 0} \dfrac{f(x_1, x_2, ..., x_i + h, ..., x_n) - f(x_1, x_2, ..., x_i, ..., x_n)}{h} \] 简单来说，这一定义表明，\( f \) 对 \( x_i \) 的偏导数是差商在 \( h \) 逼近于零时的极限，其中 \( h \) 代表变量 \( x_i \) 的一个微小变化，而其他变量保持不变。

偏导数允许我们分析函数相对于某个变量的变化情况，而其他变量保持固定。
当计算函数 \( f(x, y) \) 相对于 \( x \) 的偏导数时，记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)，我们将 \( y \) 视为常量。
同样地，当计算 \( f \) 相对于 \( y \) 的偏导数时，记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)，我们将 \( x \) 视为常量。我们仅考虑 \( f \) 相对于 \( y \) 变化时的变化情况，而保持 \( x \) 不变。
这就是偏导数背后的基本概念，允许我们分析函数相对于一个变量变化的情况，而保持其他变量不变。

偏导数广泛应用于微积分、微分方程、优化以及物理学、经济学和工程学等多个领域。它们在多元微积分的研究以及多元系统的分析中发挥了关键作用。您可以使用偏导数计算器来验证计算结果。

例题与解答

例1

计算函数 \( f \) 对 \( x \) 的偏导数（记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)）和对 \( y \) 的偏导数（记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \），其中函数 \( f \) 给定为 \[ f(x, y) = 3x^2 + 4xy - y^2 \].

例1解答

1. 计算 \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) 对 \( x \) 的导数：

我们计算 \( f \) 对 \( x \) 的偏导数，记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial x} \)。 \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2 + 4xy - y^2) \] 使用求和法则，我们写为 \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) \] 注意：在计算函数 \( f(x, y) \) 对 \( x \) 的偏导数时，我们将 \( y \) 视为常量。使用微分的幂法则，我们有： \[\dfrac{\partial}{\partial x} (3x^2) = 6x \] \[ \dfrac{\partial}{\partial x} (4xy) = 4y\] \[\dfrac{\partial}{\partial x} (y^2) = 0\] 因此 \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y - 0\] \[ \dfrac{\partial f}{\partial x} = 6x + 4y \]。

2. 计算 \( 3x^2 + 4xy - y^2 \) 对 \( y \) 的导数：

我们现在计算 \( f \) 对 \( y \) 的偏导数，记作 \( \dfrac{\partial f}{\partial y} \)。 \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2 + 4xy - y^2) \] 使用求和法则，我们写为 \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) + \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy) - \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) \] 注意：在计算函数 \( f(x, y) \) 对 \( y \) 的偏导数时，我们将 \( x \) 视为常量。使用不同的微分法则，我们有： \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (3x^2) = 0 \] \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (4xy)= 4x \] \[ \dfrac{\partial}{\partial y} (y^2) = 2y \] 因此 \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 0 + 4x - 2y \] \[ \dfrac{\partial f}{\partial y} = 4x - 2y\]。

例2

计算函数 \( g \) 对 \( x \)、\( y \) 和 \( z \) 的偏导数，其中 \( g \) 给定为 \[ g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \].

例2解答

计算 \( g(x, y, z) = e^{xy} \cos(z) \) 对 \( x \)、\( y \) 和 \( z \) 的偏导数时，我们将每个变量视为独立变量，并分别对每个变量微分，同时保持其他变量不变。让我们一步步计算每个偏导数：

1. 对 \( x \) 的偏导数：

\[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] 使用微分的乘积法则： \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) \] 现在，我们分别计算每一项： \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( e^{xy} \right) = y e^{xy} \] \[ \dfrac{\partial}{\partial x} \left( \cos(z) \right) = 0 \] 所以，综合起来： \[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z) \]

2. 对 \( y \) 的偏导数：

\[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] 使用微分的乘积法则： \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) \] 现在，我们分别计算每一项： \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( e^{xy} \right) = x e^{xy} \] 由于 \( \cos(z) \) 不依赖于 \( y \)，其对 \( y \) 的导数为零： \[ \dfrac{\partial}{\partial y} \left( \cos(z) \right) = 0 \] 所以，综合起来： \[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z) \]

3. 对 \( z \) 的偏导数：

\[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) \] 使用微分的乘积法则： \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \cos(z) \right) = \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) \cos(z) + e^{xy} \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) \] 现在，我们分别计算每一项： a. \( e^{xy} \) 对 \( z \) 的导数：由于 \( e^{xy} \) 不依赖于 \( z \)，其对 \( z \) 的导数为零： \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( e^{xy} \right) = 0 \] b. \( \cos(z) \) 对 \( z \) 的导数： \[ \dfrac{\partial}{\partial z} \left( \cos(z) \right) = -\sin(z) \] 所以，综合起来： \[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z) \] 因此，\( g \) 对 \( x \)、\( y \) 和 \( z \) 的偏导数为： \[ \dfrac{\partial g}{\partial x} = y e^{xy} \cos(z) \] \[ \dfrac{\partial g}{\partial y} = x e^{xy} \cos(z) \] \[ \dfrac{\partial g}{\partial z} = - e^{xy} \sin(z) \]

练习与解答

计算下列函数的偏导数

\( g(u,v) = u^2 \; v^2 + e^{u^2+v^2} \)
\( f(x,y,z) = \sin (xy )\;\ln (xyz ) \)
\( h(x,y,z) = \dfrac{z}{x \;y \;z +1} \)

上述练习的解答

\( \dfrac{\partial g}{\partial u} = 2 \;u \;v^2 + 2u \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial g}{\partial v} = 2 \;v \;u^2 + 2v \; e^{u^2+v^2}\)
\( \dfrac{\partial f}{\partial x} = y \;\cos(xy)\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{x} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial y} = x\;\cos (xy )\;\ln (xyz )+\dfrac{\sin (xy )}{y} \)
\( \dfrac{\partial f}{\partial z} = \dfrac{\sin (xy)}{z} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial x} = -\dfrac{y z^2 }{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial y} = -\dfrac{x z^2}{\left(zxy+1\right)^2} \)
\( \dfrac{\partial h}{\partial z} = \dfrac{1}{\left(zxy+1\right)^2} \)