微分方程简介

微分方程是包含未知函数及其导数的方程 [1] ， [2] ， [3] 。
微分方程用于在科学、工程和数学的各个领域中建模系统和其他行为。

微分方程的阶次

微分方程中包含的最高阶导数决定了方程的阶次。

示例

微分方程 \[ \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \] 是一阶方程，因为包含的最高阶导数是 \( y \) 的一阶导数 \( \dfrac{dy}{dx} \)。
微分方程 \[ \dfrac{d^3y}{dx^3} - 5\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} = 0 \] 是三阶方程，因为包含的最高阶导数是 \( y \) 的三阶导数 \( \dfrac{d^3y}{dx^3} \)。
微分方程 \[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \] 是二阶方程，因为包含的最高阶导数是 \( y \) 的二阶导数 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \)。

微分方程的线性性质

微分方程可以根据其线性性质进行分类。

线性微分方程

如果未知函数及其导数的最高幂等于1，并且函数和导数之间没有相乘，那么该微分方程称为线性方程。线性微分方程的一般形式可以表示为： \[ a_n(x)\dfrac{d^n y}{dx^n} + a_{n-1}(x)\dfrac{d^{n-1} y}{dx^{n-1}} + \ldots + a_1(x)\dfrac{dy}{dx} + a_0(x)y = g(x) \] 这里，\( a_i(x) \) 是 \( x \) 的函数，\( y \) 是未知函数，\( g(x) \) 是已知的 \( x \) 函数。

示例

微分方程 \[ \dfrac{d^2 y}{dx^2} + 2y = 0 \] 是线性的，因为未知函数 \( y \) 和它的二阶导数 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) 没有被升高到大于1的幂次，也没有相乘。
微分方程 \[ \dfrac{d^2y}{dx^2} - 3\dfrac{dy}{dx} + 2 y = 0 \] 是线性的，因为未知函数 \( y \)、二阶导数 \( \dfrac{d^2y}{dx^2} \) 和一阶导数 \( \dfrac{dy}{dx} \) 没有被升高到大于1的幂次，也没有相乘。

非线性微分方程

如果未知函数或其至少一个导数被升高到大于1的幂次，或者它们相互相乘，那么该微分方程称为非线性方程。涉及非线性函数（如平方根、对数、指数、三角函数或其他未知函数或其导数的非线性函数）的微分方程也是非线性的。
非线性微分方程可能具有复杂的行为，并且可能难以求解。

示例

微分方程 \[ \dfrac{dy}{dx} = y^2 + 3 \] 不是线性的，因为 \( y \) 出现了平方项。
微分方程 \[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = e^{y} \] 不是线性的，因为 \( y \) 出现在非线性项 \( e^{y} \) 中。
微分方程 \[ \dfrac{d^2y}{dx^2} = \sin(y) \] 不是线性的，因为 \( y \) 出现在非线性函数 \( \sin(y) \) 中。

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微分方程的阶次

示例

微分方程的线性性质

线性微分方程

示例

非线性微分方程

示例

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