牛顿法求解二元方程组的计算器
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本文提供了一个交互式计算器 ，使用牛顿法[1] 近似求解两个变量的方程组。计算器近似求解方程组的解（如果存在），并提供每次迭代的所有值表格，便于教学使用。
牛顿法求解方程组
牛顿法是一种数值方法，通过迭代从一个近似解开始，找到方程的根。当处理方程组时，该方法自然扩展为考虑雅可比矩阵及其行列式。
单变量牛顿法
假设我们需要求解以下方程
\[ f(x) = 0 \]
泰勒展开式 \( f(x+\Delta x) \) 为
\[ f(x+\Delta x) \approx f(x) + \Delta x f'(x) \]
现在我们解 \( f(x+\Delta x) = 0 \)，得到
\[ f(x) + \Delta x f'(x) = 0 \]
得到
\[ \Delta x \approx - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
假设我们知道方程根的一个近似值 \( x_n \)，则近似根 \( x_{n+1} \) 定义为
\[ \Delta x = x_{n+1} - x_n \]
可以表示为
\[ x_{n+1} \approx x_{n} - \dfrac{f(x)}{f'(x)} \]
方程组与雅可比矩阵
考虑一个含有两个变量 \( x \) 和 \( y \) 的方程组：
\[
\begin{align*}
f(x, y) &= 0 \\
g(x, y) &= 0
\end{align*}
\]
该系统的雅可比矩阵 \( J \) 表示为：
\[
J = \begin{bmatrix}
\frac{\partial f}{\partial x} & \frac{\partial f}{\partial y} \\
\frac{\partial g}{\partial x} & \frac{\partial g}{\partial y}
\end{bmatrix}
\]
牛顿法的更新公式
牛顿法用于方程组的更新公式为：
\[
\begin{aligned}
\Delta x &= \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
\Delta y &= \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
因此
\[
\begin{aligned}
x_{n+1} &\approx x_n + \frac{-f \cdot g_y + g \cdot f_y}{\text{D}} \\\\
y_{n+1} &\approx y_n + \frac{-g \cdot f_x + f \cdot g_x}{\text{D}}
\end{aligned}
\]
其中 \( f \) 和 \( g \) 是在当前 \( (x_n, y_n) \) 处评估的函数。
迭代过程
牛顿法通过上述公式迭代更新变量 \( x \) 和 \( y \)，直到满足停止准则为止。常见的停止准则包括：
计算器
输入 \( f(x, y): \)
输入 \( g(x, y): \)
\( x \) 的初始猜测值：
\( y \) 的初始猜测值：
容差：\( \epsilon \)
最大迭代次数：
求解 结果
迭代次数
\( x \)
\( y \)
\( f(x, y) \)
\( g(x, y) \)
更多参考文献和链接 