欧拉公式
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欧拉公式的推导
欧拉公式的推导涉及微积分、幂级数和复数的概念。
考虑指数函数 \( e^x \)、余弦函数 \( \cos(x) \) 和正弦函数 \( \sin(x) \) 的幂级数展开式。
这些函数的幂级数展开式为：
\[ e^x = 1 + x + \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + \dfrac{x^5}{5!} + \cdots \]
\[ \cos(x) = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!} + \cdots \]
\[ \sin(x) = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!} + \cdots \]
现在，考虑将 \( ix \) 代入 \( e^x \) 的级数展开式时会发生什么：
\[ e^{ix} = 1 + ix + \dfrac{(ix)^2}{2!} + \dfrac{(ix)^3}{3!} + \dfrac{(ix)^4}{4!} + \dfrac{(ix)^5}{5!} + \cdots \]
\[ = 1 + ix - \dfrac{x^2}{2!} - i\dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^4}{4!} + i\dfrac{x^5}{5!} - \cdots \]
将 \( e^{ix} \) 写成标准形式的复数 \( Re + i Im \)：
\[ e^{ix} = \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) + i \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \]
注意，偶次幂的项 \( \left(1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} \cdots \right) \) 形成 \( \cos(x) \) 的级数展开式，而奇次幂的项 \( \left( x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} \cdots \right) \) 形成 \( \sin(x) \) 的级数展开式。因此，结合它们，我们可以写出：
\[ \Large \color{red} {e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x)} \]
与欧拉公式相关的恒等式和公式
欧拉恒等式
当 \( x = \pi \) 时，欧拉公式变为：
\[ e^{i\pi} = \cos(\pi) + i\sin(\pi) \]
这可以写为：
\[ \Large \color{red} { e^{i\pi} + 1 = 0} \]
注意，上述等式结合了数学中五个最重要的常数：\( e \)、\( \pi \)、\( i \)、\( 1 \) 和 \( 0 \)。
莫伊弗公式
欧拉公式的扩展适用于任何整数幂 \( n \)：
\[ (e^{i x})^n = (\cos(x) + i\sin(x))^n \]
使用指数规则：
\[ (e^{i x})^n = e^{i n x} = \cos (n x) + i \sin (n x) \]
因此，莫伊弗公式为：
\[ \Large \color{red} {(\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos (n x) + i \sin (n x)} \]
该公式在计算复数的幂时非常有用。
欧拉公式与 \( \sin \) 和 \( \cos \)
从以下展开式开始：
\[ e^{ix} = \cos(x) + i\sin(x) \]
和
\[ e^{-ix} = \cos(-x) + i\sin(- x) = \cos(x) - i\sin(x) \]
将左右两边相加和相减，得到：
\[ e^{ix} + e^{-ix} = 2 \cos(x) \]
以及
\[ e^{ix} - e^{-ix} = 2 i\sin(x) \]
求解 \( \cos(x) \) 和 \( \sin(x) \) 以获得：
\[ \Large \color{red} { \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} } \]
\[ \Large \color{red} { \cos(x) = \dfrac{e^{ix} + e^{-ix}}{2} } \]
这些恒等式将三角函数 \( \sin(x) \) 和 \( \cos(x) \) 与指数函数 \( e^{ix} \) 联系起来。
这些恒等式在数学、物理和工程的各个领域中都有应用。它们提供了关于指数增长、周期运动和复数之间关系的深刻见解。
三角恒等式与欧拉公式
我们将展示一个如何使用欧拉公式证明三角恒等式的例子。
示例
证明三角恒等式 \( \sin(A + B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B \)
解答
使用恒等式 \( \sin(x) = \dfrac{e^{ix} - e^{-ix}}{2i} \) 来写出：
\[ \sin(A+B) = \dfrac{e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)}}{2i} \quad (I)\]
使用指数属性 \( e^{x+y} = e^x e^y \) 来重写 \( e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} \) 为：
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = e^{iA} e^{iB} - e^{-iA} e^{-iB} \]
现在使用欧拉公式展开右边的项：
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos (-A) + i \sin(- A))(\cos(- B) + i \sin (-B) )\]
使用恒等式 \( \cos (-A) = \cos A \) 和 \( \sin(-A) = - \sin A \) 来重写上述内容：
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = (\cos A + i \sin A)(\cos B + i \sin B) - (\cos A - i \sin A)(\cos B - i \sin B) \]
展开右边并简化：
\[ e^{i(A+B)} - e^{-i(A+B)} = 2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B \]
代入上面的 (I) 中得到：
\[ \sin(A+B) = \dfrac{2 i \sin A \cos B + 2 i \cos A \sin B}{2i} \]
简化得到众所周知的三角公式：
\[ \Large \color{red} { \sin(A+B) = \sin A \cos B + \cos A \sin B } \]