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极坐标中的二重积分

将二重积分转换为极坐标

带详细解答的示例

示例 1 \( \) \( \) \( \) \( \)
问题：计算二重积分 \( \displaystyle V = \iint_R \sqrt {1 - x^2 - y^2} \;dy \;dx \)，其中区域 \( R \) 是平面上的圆 \( xy\)-平面，圆心在原点，半径等于 \( 1\)。
示例 1 的解答
给定的积分在直角坐标下无法用基本函数求解。让我们尝试将其转换为极坐标。
设 \( f(x,y) = \sqrt {1 - x^2 - y^2} \) 并将其表示为极坐标形式。



\( r^2 = x^2 + y^2 \)
因此，函数 \( f(x,y) \) 的极坐标形式为
\( f(r,\theta) = \sqrt {1 - r^2} \)
积分区域 \( R \) 是一个圆，可以通过以下不等式定义：
\( R: \) \( 0 \le \theta \le 2\pi \) 且 \( 0 \le r \le 1 \)

给定的直角坐标积分可以如下转换为极坐标积分：
\( \displaystyle V = \iint_R \sqrt {1 - x^2 - y^2} \;dy \;dx = \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \sqrt{1-r^2} \; r \; dr \; d\theta \)
设 \( I \) 为定义的内积分：
\( \displaystyle I = \int_0^{1} \sqrt{1-r^2} \; r \; dr \)
\( = \left[ -\frac{1}{3}\left(1-r^2\right)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \dfrac{1}{3} \)
代入 \( I \) 并计算 \( V \)：
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} (1/3) \; d\theta \)
\( = \dfrac{1}{3} \left[ \theta \right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{2\pi}{3} \)

示例 2
问题：计算二重积分 \( \displaystyle V = \int_0^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^2+y^2} \; dy \; dx \)
示例 2 的解答
给定的积分在直角坐标下不易计算，因此需要使用极坐标来简化计算。
让我们将 \( f(x,y) = e^{x^2+y^2} \) 表示为极坐标形式。
\( r^2 = x^2 + y^2 \)
因此，函数 \( f(x,y) \) 的极坐标形式为
\( f(r,\theta) = e^{r^2} \)
在直角坐标下，积分区域 \( R \) 由给定的积分限定义。
\( R: \) \( 0 \le x \le 1 \) 和 \( 0 \le y \le \sqrt{1-x^2} \)
我们通过图形解法求解不等式 \( y \le \sqrt{1-x^2} \)
将两边平方
\( y^2 \le 1-x^2 \)
将 \( x \) 和 \( y \) 的项移到左侧
\( y^2 + x^2 \le 1 \)
以上不等式表示原点 \( (0,0) \) 为圆心、半径为 \( 1 \) 的圆内或圆上的所有点 \( (x,y) \)。
将所有不等式组合在一起，积分区域 \( R \) 如下图所示。

上述区域在极坐标下如图所示

其定义如下：
\( R: \) \( 0 \le \theta \le \pi/2 \) 且 \( 0 \le r \le 1 \)
现在可以将积分转换为极坐标形式
\( \displaystyle V = \int_0^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^2+y^2} \; dy \; dx = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 e^{r^2} r \; dr \; d\theta \)
设 \( I \) 为定义的内积分：
\( \displaystyle I = \int_0^1 e^{r^2} r \; dr \)
\( = \left[ \dfrac{1}{2} e{r^2} \right]_0^1 \)
\( = \dfrac{1}{2} (e - 1) \)
代入 \( I \) 并计算 \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{2} (e - 1) \; d\theta \)
\( = \dfrac{\pi}{4} (e - 1) \)

示例 3
问题：将积分 \( \displaystyle V = \iint_R {x^2+y^2} \; dy \; dx \) 转换为直角坐标和极坐标形式，且 \( R \) 是 \( xy \) 平面上圆心为 \( (1,0) \) 且半径为 \( 1 \) 的圆，并计算该积分。
示例 3 的解答
我们首先绘制积分区域 \( R \) 并定义其直角坐标和极坐标形式。
1) 直角坐标
圆心为 \( (1,0) \) 且半径为 \( 1 \) 的圆的方程为
\( (x-1)^2 + y^2 = 1 \)
展开并将同类项合并
\( x^2 - 2x + y^2 = 0 \)
求解该方程得到两个解
\( y = \pm \sqrt {2x-x^2} \)
使用垂直条带，区域 \( R \) 可以通过以下不等式定义：
\( R: \) \( 0 \le x \le 2 \) 和 \( - \sqrt {2x-x^2} \le y \le \sqrt {2x-x^2} \)

积分可以表示为
\( \displaystyle V = \int_0^2 \int_{-\sqrt {2x-x^2}}^{\sqrt {2x-x^2}} \; \; (x^2+y^2) \; dy \; dx \)
设 \( I_1 \) 为定义的内积分：
\( \displaystyle I_1 = \int_{-\sqrt {2x-x^2}}^{\sqrt {2x-x^2}} \; \; (x^2+y^2) \; dy \)
计算 \( I_1 \)：
\( \displaystyle I_1 = 2x^2\sqrt{2x-x^2}+2\cdot \frac{\left(2x-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \)
在直角坐标下计算外部积分的下一步非常具有挑战性。
2) 极坐标
使用从原点到圆上某点的条带：在原点处 \( r = 0 \)；在圆上 \( r = \sqrt {x^2 + y^2} \)
我们将圆的方程 \( x^2 + y^2 = 2x \) 转换为极坐标形式。
根据直角坐标和极坐标之间的关系[6]，我们有
\( r^2 = x^2 + y^2 \) 和 \( x = r \cos \theta \)
在方程 \( x^2 + y^2 = 2x \) 中用 \( r^2 \) 替换 \( x^2 + y^2 \) 并用 \( r \cos \theta \) 替换 \( x \)，得到
\( r^2 = 2 r \cos \theta \)
将上述方程的两边除以 \( r \)
\( r = 2 \cos \theta \)
在极坐标下，区域 \( R \) 可以通过以下不等式定义：
\( R: \) \( -\pi/2 \le \theta \le \pi/2 \) 且 \( 0 \le r \le 2 \cos \theta \)


使用 \( r^2 = x^2 + y^2 \) 将积分写为极坐标形式：
\( \displaystyle V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \; r \; dr \; d\theta \)
设内积分 \(I \) 为：
\( \displaystyle I = \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \; r \; dr \)
计算：
\( \displaystyle I = \left[ r^4 / 4 \right]_{0}^{2 \cos \theta} \)
\( \displaystyle I = 4 cos^4 \theta \)     (方程 1)
将上述表达式中的幂次 \( \cos^4 \theta \) 降低
\( \cos^4 \theta = \cos^2 \theta \cos^2 \theta \)
使用降幂恒等式
\( \cos^2 \theta = \dfrac{cos (2\theta) + 1}{2} \)
因此
\( \cos^4 \theta = \left( \dfrac{\cos (2\theta) + 1}{2} \right)^2 \)
\( = \dfrac{\cos^2(2\theta) + 2 \cos (2\theta) + 1}{4} \)
再使用一次降幂恒等式
\( \cos^4 \theta = \dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{8} + 3/8 \)
我们现在将上述表达式代入方程 1 中，得到
\( I = \dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{2} + 3/2 \)
将 \( I \) 代入积分并计算
\( \displaystyle V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{2} + 3/2 ) \; d\theta \)
\( \displaystyle = \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin \left(4\theta\right)+2\sin \left(2\theta\right)\right)+\frac{3}{2}\theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2} \)
\( = \dfrac{3\pi}{2} \)
给定的积分使用极坐标计算要容易得多。

示例 4
问题：将积分 \( \displaystyle V = \int_{-1}^0 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^0 \dfrac{\sqrt{x^2+y^2}}{1+\sqrt{x^2+y^2}} \; dy \; dx \) 转换为极坐标形式并计算。
示例 4 的解答
从直角坐标中的积分限可以推断出积分区域 \( R \)，它是第三象限的四分之一圆，如图所示
\( R: \) \( 0 \le x \le 2 \) 和 \( - \sqrt {1-x^2} \le y \le 0 \)
其图形如下所示

在极坐标中使用从原点到四分之一圆上某点的条带：在原点处 \( r = 0 \)；在圆上 \( r = 1 \)，积分区域 \( R \) 在极坐标下可以定义为：
\( R: \) \( \pi \le \theta \le 3\pi/2 \) 和 \( 0 \le r \le 1 \)


使用 \( r = \sqrt { x^2 + y^2 } \) 将给定的积分写为极坐标形式：
\( \displaystyle V = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} \dfrac{r}{1+r} \; r \; dr \; d\theta \)
\( \displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} \dfrac{r^2}{1+r} \; dr \; d\theta \)
使用除法将被积函数 \( \dfrac{r^2}{1+r} \) 展开如下
\( \dfrac{r^2}{1+r} = r-1+\frac{1}{r+1} \)
将被积函数的展开形式代入积分中
\( \displaystyle V = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} (r-1+\frac{1}{r+1}) \; dr \; d\theta \)
积分：
\( \displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} \left[ \dfrac{r^2}{2} - r + ln |r+1| \right]_0^1 d\theta \)
计算：
\( \displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} (\ln (2)-\dfrac{1}{2}) d\theta \)
积分：
\( = \left( \ln (2)-\dfrac{1}{2} \right) \left[ \; \theta \; \right]_{\pi}^{3\pi/2} \)
计算：
\( V = \dfrac{\pi}{2} \left( \ln (2)-\dfrac{1}{2} \right) \)

更多带答案的问题

1. \( \displaystyle V = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \; \; \sin(x^2+y^2) \;dy \;dx \)
   
   
2. \( \displaystyle V = \int _0^2\:\:\int _0^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \:\;dy\:\;dx\: \)
   第二部分
3. 求解 \( \displaystyle V = \iint_R \: e^{\sqrt{x^2+y^2}} \; dx \; dy \)，其中 \( R \) 是下图中蓝色区域。
   
   
   

以上问题的答案

1. 
   直角坐标（左侧）和极坐标（右侧）中积分区域的图形如下所示。
   
   \( \displaystyle V = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \; \; \sin(x^2+y^2) \;dy \;dx \)
   将上述积分转换为极坐标形式：
   \( \displaystyle V = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \; \; \sin(r^2) \;r \; dr \;d\theta \)
   求解：
   \( = \pi (1 -\cos 1) \)
   
2. 
   直角坐标（左侧）和极坐标（右侧）中积分区域的图形如下所示。
   
   \( \displaystyle V = \int _0^2\:\:\int _0^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \:\;dy\:\;dx\: \)
   将上述积分转换为极坐标形式：
   \( \displaystyle V = \int_{0}^{\pi/2} \int_0^2 \; \; r^2 \; dr \;d\theta \)
   求解：
   \( = \dfrac{4\pi }{3} \)
   

更多参考和链接

1. Joel Hass, 加利福尼亚大学戴维斯分校；Maurice D. Weir，海军研究生院；George B. Thomas, Jr.，麻省理工学院；《大学微积分：早期超越法》，第三版，波士顿哥伦布，2016年，Pearson出版。
2. 二重积分计算
   一般区域的二重积分
   
3. Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis；《微积分：早期超越法》；Willey出版社，2012年。
   
4. Gilbert Strang；麻省理工学院，《微积分》，Wellesley-Cambridge出版社，1991年。
   
5. 极坐标
   
6. 极坐标与直角坐标的相互转换