# 极坐标中的二重积分

## 带详细解答的示例

$$r^2 = x^2 + y^2$$

$$f(r,\theta) = \sqrt {1 - r^2}$$

$$R:$$ $$0 \le \theta \le 2\pi$$ 且 $$0 \le r \le 1$$

$$\displaystyle V = \iint_R \sqrt {1 - x^2 - y^2} \;dy \;dx = \int_0^{2\pi} \int_0^{1} \sqrt{1-r^2} \; r \; dr \; d\theta$$

$$\displaystyle I = \int_0^{1} \sqrt{1-r^2} \; r \; dr$$
$$= \left[ -\frac{1}{3}\left(1-r^2\right)^{\frac{3}{2}} \right]_0^1 = \dfrac{1}{3}$$

$$\displaystyle V = \int_0^{2\pi} (1/3) \; d\theta$$
$$= \dfrac{1}{3} \left[ \theta \right]_0^{2\pi}$$
$$= \dfrac{2\pi}{3}$$

$$r^2 = x^2 + y^2$$

$$f(r,\theta) = e^{r^2}$$

$$R:$$ $$0 \le x \le 1$$ 和 $$0 \le y \le \sqrt{1-x^2}$$

$$y^2 \le 1-x^2$$

$$y^2 + x^2 \le 1$$

$$R:$$ $$0 \le \theta \le \pi/2$$ 且 $$0 \le r \le 1$$

$$\displaystyle V = \int_0^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} e^{x^2+y^2} \; dy \; dx = \int_0^{\pi/2} \int_0^1 e^{r^2} r \; dr \; d\theta$$

$$\displaystyle I = \int_0^1 e^{r^2} r \; dr$$
$$= \left[ \dfrac{1}{2} e{r^2} \right]_0^1$$
$$= \dfrac{1}{2} (e - 1)$$

$$\displaystyle V = \int_0^{\pi/2} \dfrac{1}{2} (e - 1) \; d\theta$$
$$= \dfrac{\pi}{4} (e - 1)$$

1) 直角坐标

$$(x-1)^2 + y^2 = 1$$

$$x^2 - 2x + y^2 = 0$$

$$y = \pm \sqrt {2x-x^2}$$

$$R:$$ $$0 \le x \le 2$$ 和 $$- \sqrt {2x-x^2} \le y \le \sqrt {2x-x^2}$$

$$\displaystyle V = \int_0^2 \int_{-\sqrt {2x-x^2}}^{\sqrt {2x-x^2}} \; \; (x^2+y^2) \; dy \; dx$$

$$\displaystyle I_1 = \int_{-\sqrt {2x-x^2}}^{\sqrt {2x-x^2}} \; \; (x^2+y^2) \; dy$$

$$\displaystyle I_1 = 2x^2\sqrt{2x-x^2}+2\cdot \frac{\left(2x-x^2\right)^{\frac{3}{2}}}{3}$$

2) 极坐标

$$r^2 = x^2 + y^2$$ 和 $$x = r \cos \theta$$

$$r^2 = 2 r \cos \theta$$

$$r = 2 \cos \theta$$

$$R:$$ $$-\pi/2 \le \theta \le \pi/2$$ 且 $$0 \le r \le 2 \cos \theta$$

$$\displaystyle V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \; r \; dr \; d\theta$$

$$\displaystyle I = \int_{0}^{2 \cos \theta} r^2 \; r \; dr$$

$$\displaystyle I = \left[ r^4 / 4 \right]_{0}^{2 \cos \theta}$$
$$\displaystyle I = 4 cos^4 \theta$$     (方程 1)

$$\cos^4 \theta = \cos^2 \theta \cos^2 \theta$$

$$\cos^2 \theta = \dfrac{cos (2\theta) + 1}{2}$$

$$\cos^4 \theta = \left( \dfrac{\cos (2\theta) + 1}{2} \right)^2$$
$$= \dfrac{\cos^2(2\theta) + 2 \cos (2\theta) + 1}{4}$$

$$\cos^4 \theta = \dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{8} + 3/8$$

$$I = \dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{2} + 3/2$$

$$\displaystyle V = \int_{-\pi/2}^{\pi/2} (\dfrac{\cos(4\theta) + 4\cos(2\theta) }{2} + 3/2 ) \; d\theta$$
$$\displaystyle = \left[ \frac{1}{2}\left(\frac{1}{4}\sin \left(4\theta\right)+2\sin \left(2\theta\right)\right)+\frac{3}{2}\theta \right]_{-\pi/2}^{\pi/2}$$
$$= \dfrac{3\pi}{2}$$

$$R:$$ $$0 \le x \le 2$$ 和 $$- \sqrt {1-x^2} \le y \le 0$$

$$R:$$ $$\pi \le \theta \le 3\pi/2$$ 和 $$0 \le r \le 1$$

$$\displaystyle V = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} \dfrac{r}{1+r} \; r \; dr \; d\theta$$
$$\displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} \dfrac{r^2}{1+r} \; dr \; d\theta$$

$$\dfrac{r^2}{1+r} = r-1+\frac{1}{r+1}$$

$$\displaystyle V = \int_{\pi}^{3\pi/2} \int_{0}^{1} (r-1+\frac{1}{r+1}) \; dr \; d\theta$$

$$\displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} \left[ \dfrac{r^2}{2} - r + ln |r+1| \right]_0^1 d\theta$$

$$\displaystyle = \int_{\pi}^{3\pi/2} (\ln (2)-\dfrac{1}{2}) d\theta$$

$$= \left( \ln (2)-\dfrac{1}{2} \right) \left[ \; \theta \; \right]_{\pi}^{3\pi/2}$$

$$V = \dfrac{\pi}{2} \left( \ln (2)-\dfrac{1}{2} \right)$$

## 更多带答案的问题

1. $$\displaystyle V = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \; \; \sin(x^2+y^2) \;dy \;dx$$

2. $$\displaystyle V = \int _0^2\:\:\int _0^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \:\;dy\:\;dx\:$$
第二部分
3. 求解 $$\displaystyle V = \iint_R \: e^{\sqrt{x^2+y^2}} \; dx \; dy$$，其中 $$R$$ 是下图中蓝色区域。

## 以上问题的答案

1. 直角坐标（左侧）和极坐标（右侧）中积分区域的图形如下所示。

$$\displaystyle V = \int_{-1}^1 \int_{-\sqrt{1-x^2}}^{\sqrt{1-x^2}} \; \; \sin(x^2+y^2) \;dy \;dx$$
将上述积分转换为极坐标形式：
$$\displaystyle V = \int_{0}^{2\pi} \int_0^1 \; \; \sin(r^2) \;r \; dr \;d\theta$$
求解：
$$= \pi (1 -\cos 1)$$

2. 直角坐标（左侧）和极坐标（右侧）中积分区域的图形如下所示。

$$\displaystyle V = \int _0^2\:\:\int _0^{\sqrt{4-x^2}} \sqrt{x^2+y^2} \:\;dy\:\;dx\:$$
将上述积分转换为极坐标形式：
$$\displaystyle V = \int_{0}^{\pi/2} \int_0^2 \; \; r^2 \; dr \;d\theta$$
求解：
$$= \dfrac{4\pi }{3}$$

$$\displaystyle V = \int_{-2}^{2} \int_0^{\sqrt{4-x^2}} \: e^{\sqrt{x^2+y^2}} \; dy \; dx - \int_{-1}^{1} \int_0^{\sqrt{1-x^2}} \: e^{\sqrt{x^2+y^2}} \; dy \; dx$$

$$R:$$ $$0 \le \theta \le \pi$$ 和 $$1 \le r \le 2$$

$$\displaystyle V = \iint_R \: e^{\sqrt{x^2+y^2}} \; dx \; dy$$

$$\displaystyle V = \int_0^{\pi} \; \int_1^2 \: r e^{r} \; dr \; d\theta$$

$$= \pi e^2$$

## 更多参考和链接

1. Joel Hass, 加利福尼亚大学戴维斯分校；Maurice D. Weir，海军研究生院；George B. Thomas, Jr.，麻省理工学院；《大学微积分：早期超越法》，第三版，波士顿哥伦布，2016年，Pearson出版。
2. 二重积分计算
一般区域的二重积分
3. Howard Anton, Irl C. Bivens, Stephen Davis；《微积分：早期超越法》；Willey出版社，2012年。
4. Gilbert Strang；麻省理工学院，《微积分》，Wellesley-Cambridge出版社，1991年。
5. 极坐标
6. 极坐标与直角坐标的相互转换