二重积分计算

本文展示了计算和评估二重积分的示例，并附有详细解答。还包括一般区域上的二重积分和极坐标下的二重积分。 \( \)\( \)\( \)

单重积分和二重积分复习

单重积分用于计算给定函数 \( f(x) \) 的曲线下的面积，如下图所示。
从 \( x = a \) 到 \( x = b \) 的曲线下面积由以下公式给出：\( \displaystyle \int_a^b f(x) \; dx \)

对于三维形状，我们关注的是计算由两个变量 \( f(x,y) \) 定义的曲面下的体积，其底面为 \( R \)（绿色），如下图 a) 所示。
三维形状的体积

在上图中，三维形状的底面 \( R \) 是由 \( 0 \le x \le a \) 和 \( 0 \le y \le b \) 定义的矩形；但一般情况下，\( R \) 可以有任意二维形状，我们将在更多示例中看到。
计算三维形状体积有两种方法。
1)
将三维形状沿 \( x \) 轴在固定的 \( x \) 值处切割成无限多个截面积 \( A_1(x) \)，如图 b) 所示，然后使用单重积分的概念（基本上是连续求和）计算体积 \( V \)：
\( \displaystyle V = \int_0^a A_1(x) \; dx \)
截面积 \( A_1(x) \) 平行于 z-y 平面，可以通过对 \( y \) 进行积分来求出 \( f(x,y) \) 的面积，就像使用单重积分来求曲线下的面积一样，公式如下：
\( \displaystyle A_1(x) = \int_0^b f(x,y) \; dy \)
我们将 \( A_1(x) \) 代入 \( V \) 得到：
\( \displaystyle V = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \)

2)
将三维形状沿 \( y \) 轴在固定的 \( y \) 值处切割成无限多个截面积 \( A_2(y) \)，如图 c) 所示，然后使用单重积分的概念（基本上是连续求和）计算体积 \( V \)：
\( V = \displaystyle \int_0^b A_2(y) \; dy \)
截面积 \( A_2(y) \) 平行于 z-x 平面，可以通过对 \( x \) 进行积分来求出 \( f(x,y) \) 的面积，就像使用单重积分来求曲线下的面积一样，公式如下：
\( \displaystyle A_2(y) = \int_0^a f(x,y) \; dx \)
我们将 \( A_2(x) \) 代入 \( V \) 得到：
\( \displaystyle V = \int_0^b \int_0^a f(x,y)\; dx \; dy \)
上述内容总结为Fubini 定理：
\[ \iint_R f(x,y) \,dx\,dy = \int_0^b \int_0^a f(x,y) \; dx \; dy = \int_0^a \int_0^b f(x,y) \; dy \; dx \] 区域 R 是由以下条件定义的矩形：\( 0 \le x \le a \) 和 \( 0 \le y \le b \)
上述积分称为迭代积分。
所有的积分公式和规则都可以用于计算这些积分。

多变量单重积分的计算

在我们开始计算二重积分的示例之前，让我们先看看如何计算当被积函数有多个变量时的积分，因为这是计算二重积分和三重积分的基本技能。
示例 1
计算以下积分：
a) \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \) ，b) \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \) ，c) \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx \) ，d) \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)
示例 1 的解答
a)
要计算 \( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx \)，我们将 \( y \) 视为常数，因为积分是在 \( x \) 上进行的。
注意，\( \displaystyle \int (x^2) \; dx = \dfrac{1}{3} x^3\)，而 \( \displaystyle \int ( y^2) \; dx = y^2 x\)，因为 \( y \) 被视为常数。因此：
\( \displaystyle \int_0^3 (x^2 + y^2) \; dx = \left[ \dfrac{1}{3}x^3 + y^2 x \right]_0^3 \)
代入以求解积分：
\( = (\dfrac{1}{3}(3)^3 + y^2 (3)) - (\dfrac{1}{3}(0)^3 + y^2 (0)) \)
简化得：
\( = 3 y^2 + 9 \)
b)
要计算 \( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy \)，我们将 \( x \) 视为常数，因为积分是在 \( y \) 上进行的。
注意，\( \displaystyle \int \dfrac{1}{x} \; dy = \dfrac{1}{x} y \)，因为 \( x \) 被视为常数，而 \( \displaystyle \int \dfrac{1}{y} \; dy = \ln |y|\)。因此：
\( \displaystyle \int_3^5 (\dfrac{1}{x} + \dfrac{1}{y}) \; dy = \left[ \dfrac{1}{x} y + \ln |y| \right]_3^5 \)
代入以求解积分：
\( = ( \dfrac{1}{x} (5) + \ln|5|) - ( \dfrac{1}{x} (3) + \ln|3| ) \)
简化得：
\( = \dfrac{2}{x} + \ln(5/3) \)
c)
要计算 \( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y) \; dx\)，我们将 \( y \) 视为常数，因为积分是在 \( x \) 上进行的。
注意，\( \displaystyle \int x y \; dx = \dfrac{1}{2} x^2 y \) 和 \( \displaystyle \int y \; dx = y x \)，因为 \( y \) 被视为常数。因此：
\( \displaystyle \int_{y+1}^{y^2} ( x y + y ) \; dx = \left[ \dfrac{1}{2} x^2 y + y x \right]_{y+1}^{y^2} \)
代入以求解积分，注意积分的上下限是 \( y \) 的函数：
\( = ( \dfrac{1}{2} (y^2)^2 y + y (y^2) ) - ( \dfrac{1}{2} (y+1)^2 y + y (y+1) ) \)
简化得：
\( = \dfrac{y^5+y^3-4y^2-3y}{2} \)
d)
要计算 \( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy \)，我们将 \( x \) 视为常数，因为积分是在 \( y \) 上进行的。
注意，\( \displaystyle \int \sin( x y) \; dy = - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \)，因为 \( x \) 被视为常数。因此：
\( \displaystyle \int_0^{x-1} \sin( x y) \; dy = \left[ - \dfrac{1}{x} \cos(xy) \right]_0^{x-1} \)
代入以求解积分，注意积分的上下限是 \( x \) 的函数：
\( = ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(x-1)) ) - ( - \dfrac{1}{x} \cos(x(0)) ) \)
简化得：
\( = - \dfrac{1}{x} \cos(x^2 - x) + 1/x\)

二重积分的计算

计算二重积分的主要思路是将二重积分拆分为两个单重积分。计算二重积分有两种方法：
1) 先计算 \( x \) 方向的积分：
\( \displaystyle \int_0^b \int_0^a f(x,y) dx dy = \int_0^b \left(\int_0^a f(x,y) \;dx\right) \;dy \)
2) 先计算 \( y \) 方向的积分：
\( \displaystyle \int_c^d \int_a^b f(x,y) dx dy = \int_0^a \left(\int_0^b f(x,y) \;dy\right) \;dx \)
注意计算二重积分的一种方法是分别计算内积和外积分。

示例 2
使用上述两种方法计算二重积分 \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) \;dx \;dy \)
示例 2 的解答
1) 我们首先计算 \( x \) 方向的积分，然后计算 \( y \) 方向的积分。
\( \displaystyle V = \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_1^3 \left(\int_0^4 (x^2-y+2) \;dx\right) \;dy \)
首先计算内积分 \( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx \) ，假设 \( y \) 为常数，这类似于计算偏导数。
\( I = \displaystyle \int_0^4 (x^2-y+2) dx = \left[ \dfrac{1}{3} x^3 - y x + 2 x \right]_{x = 0}^{x=4} \)
计算得：
\( I = \displaystyle (\dfrac{1}{3} 4^3 - 4y + 2\cdot4) - (\dfrac{1}{3} 0^3 - y (0) + 2 (0)) \)
简化得：
\( I = \left[ -4y+\dfrac{88}{3} \right] \)
将 \( I \) 代入 \( V \) 并计算外积分：
\( \displaystyle V = \int_1^3 \left( -4y +\dfrac{88}{3} \right) \;dy \)
计算得：
\( \displaystyle V = \left[ -2 y^2 + \dfrac{88}{3} y \right]_{y= 1}^{y=3} \)
\( \displaystyle V = (-2 (3)^2 + \dfrac{88}{3} (3)) - (-2 (1)^2 + \dfrac{88}{3} (1)) \)
\( \displaystyle V = \dfrac{128}{3} \)

2) 我们首先计算 \( y \) 方向的积分，然后计算 \( x \) 方向的积分。

\( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 (x^2-y+2) dx dy = \int_0^4 \left(\int_1^3 (x^2-y+2) dy\right) \; dx \)
计算内积分 \( I = \displaystyle \int_1^3 (x^2-y+2) dy \) ，假设 \( x \) 为常数：
\( I = \left[ x^2 y - \dfrac{1}{2} y^2 x + 2 x y \right]_{y = 1}^{y=3} \)
\( = \displaystyle \left( ( x^2 (3) - \dfrac{1}{2} (3)^2 x + 2 x (3) ) - (x^2 (1) - \dfrac{1}{2} (1)^2 x + 2 x (1)) \right) \)
简化得：
\( I = 2x^2 \)
将 \( I \) 代入 \( V \)
\( \displaystyle V = \int_0^4 2x^2 dx \)
计算得：
\(V = \displaystyle \left[ \dfrac{2}{3} x^3 \right]_{x=0}^{x=4} \)
\( V = \dfrac{128}{3} \)
注意
1) 两种分割积分的方法得到了相同的答案。
2) 尽管我们在计算二重积分，但实际上我们处理的是单重积分，当然所有积分的公式和性质都可以使用。

更多示例及解答

示例 3
计算二重积分 \( V = \displaystyle \int_1^3 \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \; dy \)
示例 3 的解答
从内积分开始：
设 \( \displaystyle I = \int_0^4 \sqrt {2+x+y} \; dx \)
计算 \( I \)
\( \displaystyle I = \left[ \dfrac{2}{3} (2+x+y)^{3/2} \right]_0^4 \)
计算得：
\( \displaystyle I = \left( \dfrac{2}{3} (2+4+y)^{3/2} - \dfrac{2}{3} (2+0+y)^{3/2} \right) \)
简化得：
\( \displaystyle I = \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \)
将内积分 \( I \) 代入 \( V \)：
\( \displaystyle V = \int_1^3 \dfrac{2}{3} \left( (6+y)^{3/2} - (2+y)^{3/2} \right) \; dy \)
计算上述积分：
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+y)^{5/2} - (2+y)^{5/2} \right]_1^3 \)
使用积分上下限计算：
\( \displaystyle V = \dfrac{4}{15} \left[ (6+3)^{5/2} - (2+3)^{5/2} \right] - \dfrac{4}{15} \left[ (6+1)^{5/2} - (2+1)^{5/2} \right] \)
\( \displaystyle \approx 19.48 \)

示例 4 积分的上下限可以包含变量
计算二重积分 \( \displaystyle V = \int _{1\:}^2\:\int _{y-1}^{y}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \; dy \)
示例 4 的解答
设内积分为 \( \displaystyle I = \int _y^{y+1}\:\:\left(x+\dfrac{1}{y}\right) \; dx \)
计算该积分：
\( I = \left[ \dfrac{x^2}{2}+ \dfrac {x}{y} \right]_{y-1}^{y} \)
使用积分上下限计算 \( I \)
\( I = \left( \dfrac{(y)^2}{2}+ \dfrac {y}{y} \right) - \left( \dfrac{(y-1)^2}{2}+ \dfrac {y-1}{y} \right) \)
简化得：
\( I = y - 1/2 + \dfrac{1}{y} \)
将 \( I \) 代入 \( V \) 并计算外积分：
\( \displaystyle V = \int _{1\:}^2 ( y - 1/2 + \dfrac{1}{y} ) \; dy \)
计算该积分：
\( \displaystyle V = \left [\dfrac{y^2}{2} - \dfrac{y}{2} + \ln |y| \right]_1^2 \)
\( \displaystyle V = (\dfrac{(2)^2}{2} - \dfrac{(2)}{2} + \ln |(2)|) - (\dfrac{(1)^2}{2} - \dfrac{(1)}{2} + \ln |(1)|) \)
简化得：
\( V = \ln 2 + 1 \)

示例 5
计算二重积分 \( \displaystyle V = \int _0^{\pi}\:\int _0^1\left(x \sin(x^2)+y\:\right)dy\:dx \)
示例 5 的解答
设内积分为 \( \displaystyle I = \int _0^1\left(x\sin\left(x^2\right)+y\:\right)dy \)
计算该积分：
\( I = \left[ x\sin(x^2) y + \dfrac{y^2}{2} \right]_{0}^{1} \)
使用积分上下限计算 \( I \)
\( I = x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} \)
将 \( I \) 代入 \( V \) 并计算外积分：
\( \displaystyle V = \int _{0\:}^{\pi} ( x\sin(x^2) + \dfrac{1}{2} ) \; dx \)
计算该积分：
\( \displaystyle V = \left [ -\dfrac{1}{2} \cos (x^2) + \dfrac{1}{2} x\right]_0^{\pi} \)
简化得：
\( \displaystyle V = \dfrac{-\cos(\pi^2)+\pi+1}{2} \)

示例 6
求常数 \( k \)，使得 \( \displaystyle \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx = 5 \)
示例 6 的解答
设 \( \displaystyle V = \int _0^1\:\int _0^3 k x^2 (y+1) dy\:dx \)
设内积分为 \( \int _0^3 k x^2 (y+1) dy \)
计算 \( I \)：
\( I = \left [k x^2 (\dfrac{y^2}{2}+y) \right]_0^3 = k \dfrac{15}{2} x^2 \)
将 \( I \) 代入 \( V \)：
\( \displaystyle V = \int _0^1 k \dfrac{15}{2} x^2 dx \)
计算 \( V \)：
\( V = \left [ \dfrac{5 k}{2} x^3 \right]_0^1 = \dfrac{5 k}{2} \)
我们现在解方程求 \( k \)：
\( k = 2 \)

示例 7
求常数 \( b \)，使得 \( \displaystyle \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx = 10 \)，且 \( b \gt 0 \)
示例 7 的解答
设 \( \displaystyle V = \int _1^2\:\int _0^b (2x+y )dy\:dx \)
设 \( I \) 为内积分：
\( I = \displaystyle \int _0^b (2x+y )dy \)
计算 \( I \)：
\( \displaystyle I = \left[\dfrac{y^2}{2}+2xy\right]_0^b = \dfrac{b^2}{2}+2bx \)
将 \( I \) 代入 \( V \) 并计算 \( V \)：
\( \displaystyle V = \int _1^2\ \left(\dfrac{b^2}{2}+2bx \right) dx \)
\( = \left[ \dfrac{b^2}{2}x+bx^2 \right]_1^2 \)
\( = \dfrac{b^2}{2}+3b \)
为了求 \( b \)，我们需要解方程：
\( \dfrac{b^2}{2}+3b = 10 \)
解出方程并选择正值解：
\( b = -3+\sqrt{29} \)

上述问题的答案

第 1 部分：

\( \dfrac{92}{3} \)
\( 4\ln (2) +56 \)
\( \dfrac{5}{2} \ln (5)+12 \ln (3/2) \)
\( 2 \)

第 2 部分： \( \displaystyle \int _{-1}^b\:\int _{-2}^b\left(\:\:x\:y\:e^{x^2+y^2}\:\:\right)dy\:dx = \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e\right) \)
解方程：\( \dfrac{1}{4}\left(e^{b^2}-e^4\right)\left(e^{b^2}-e \right) = 0 \)
得出两个解：\( b = 1\) 和 \( b = 2 \)