二重积分的应用

介绍了一些使用二重积分计算体积和面积的例子，并提供了详细的解决方案。 \( \)\( \)\( \)

使用二重积分计算体积

给定表面 \( z = f(x,y) \) 在区域 \( R \) 之上且在 \( xy\)-平面之下，且 \( f(x,y) \ge 0 \)，则固体的体积 \( V \) 由以下二重积分给出 [6]： \[ \displaystyle V = \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \]

例子 1
使用二重积分计算位于平面 \( z = 0 \) 和抛物面 \( z = 4 - x^2 - y^2 \) 之间的固体的体积。
例子 1 的解决方案
下图展示了位于平面 \( z = 0 \) 和抛物面之间的固体。

表面和区域之间的体积 — 图1 - 位于平面 \( z = 0 \) 和抛物面 \( z = 4 - x^2 - y^2 \) 之间的体积

积分区域 \( R \) 是抛物面和平面 \( z =0 \) 的交点，通过在抛物面方程中设置 \( z = 0 \) 得到：
\( 0 = 4 - x^2 - y^2 \)
转换为标准形式
\( x^2 + y^2 = 2^2 \)
这是一个位于 \( xy \) 平面（或 \( z = 0 \) ）的圆心为 \( (0,0) \) ，半径为 \( 2 \) 的圆。

例子1的积分区域 — 图2 - 积分区域 \( R \) 是一个圆，圆心为 \( (0,0) \) ，半径为 \( 2 \)

由于积分区域是一个圆，所以使用极坐标中的二重积分更为有效。
体积 \( V \) 使用以下二重积分计算：
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \) ，其中 \( R \) 是定义的积分区域：
\( R: 0\le \theta \le 2\pi , 0 \le r \le 2 \)
这是图2中的圆，并且 \( f(x,y) = z = 4 - x^2 - y^2 \)
在极坐标中，体积给出如下：
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r dr d\theta \)
\( \displaystyle V = \int_0^{2\pi} \int_0^2 (4-r^2) r dr d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} \left[2r^2-\frac{r^4}{4}\right]_0^2 d\theta \)
\( = \int_0^{2\pi} ( 4 ) d\theta \)
\( = 8 \pi \)

例子 2
找到常数 \( a \)（见下图），使得位于 \( xy \) 平面上如图所示的区域 \( R \) 之上的固体的体积和由方程 \( z = \sqrt{1-x^2-y^2} \) 定义的表面之下的体积等于1立方单位。

例子 2 的解决方案
我们首先将图2中的给定区域转换为极坐标。外部半圆 \( y = \sqrt {1-x^2} \) 的半径为1，而内部半圆 \( y = \sqrt {a^2-x^2} \) 的半径为待求的 \( a \)。

极坐标中的积分区域可以定义为：
\( R: 0\le \theta \le \pi , a \le r \le 1 \)
在极坐标中
\( z = \sqrt{1-x^2-y^2} = \sqrt{1-r^2} \)
在极坐标中，体积给出如下：
\( \displaystyle V = \int_0^{\pi} \int_a^1 \sqrt{1-r^2} r dr d\theta \)
\( \displaystyle = \int_0^{\pi} \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} d\theta \)
\( = \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi \)
我们希望体积 \( V \) 等于 \( 1 \)，因此：
\( \dfrac{\left(-a^2+1\right)^{\frac{3}{2}}}{3} \pi = 1 \)
解出 \( a \)：
\( a = \sqrt{1-\sqrt[3]{\dfrac{9}{\pi ^2}}} \approx 0.174 \)

例子 3
找到 \( a \)，使得由平面 \( 2x + 2 y + z = a , a \gt 0\) ，\( y = 2 x \) ，\( y = 0\) 和 \( z = 0 \) 所包围的四面体的体积等于10立方单位。
例子 3 的解决方案
下图展示了定义需要计算体积的固体的平面。

首先找到由三个顶点 \( O , B \) 和 \( C \) 定义的三角形的积分区域。
\( O \) 是坐标系的原点。
\( B \) 是与 \( x\) 轴的交点，通过在给定的平面方程 \( 2x + 2 y + z = a \) 中设置 \( z = 0\) 和 \( y = 0 \) 来找到。
\( 2x = a \)
解出 \( x \)：
\( x = \dfrac{a}{2} \)
\( C \) 是平面 \( 2x + 2 y + z = a \) 和 \( y = 2 x \) 的交点，位于 \( xy \) 平面上。 \( xy \) 平面上的点有 \( z = 0 \)。
点 \( C \) 通过在方程 \( 2x + 2 y + z = a \) 中设置 \( z = 0 \) 并解出所得方程来求得：
\( 2x + 2 y = a \) 和 \( y = 2 x \)
通过代入法解出：
\( y = a/3 \) 和 \( x = a/6 \) 因此，\( xy \) 平面上的积分区域 \( R \) 是一个三角形，其顶点为：
\(O(0,0)\) ，\( B(a/2,0) \) 和 \(C(a/6,a/3)\)

四面体的体积 \( V \) 由以下公式给出：
\( V = \displaystyle \iint_R f(x,y) \;dy \;dx \) ，其中 \( R \) 是定义的积分区域：
\( R: \dfrac{y}{2} \le x \le \ \dfrac{a}{2} - y , 0 \le y \le \dfrac{a}{3} \)
并且
\( f(x,y) = z = a - 2x - 2 y \)
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \int_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} (a - 2x - 2 y) \;dx \;dy \)
计算内积分：
\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left[ax-2yx-x^2\right]_{\frac{y}{2}}^{ \frac{a}{2} - y} \;dy \)

\( V = \displaystyle \int_0^{\frac{a}{3}} \left(\frac{9y^2-6ay+a^2}{4}\right) \;dy \)
计算外积分：
\( V = \left[ \frac{1}{4} \left(3y^3-3a y^2+a^2 y \right) \right]_0^{\frac{a}{3}} \)
\( V = \frac{a^3}{36} \)
注意：您可以检查上面的结果是否与使用四面体体积的非常著名公式获得的结果一致：
\( V = \dfrac{1}{3} A \times H \)
其中 \( A \) 是底面的面积，\( H \) 是从底面到四面体顶点的高度。
您可以自行检查。
为了使体积等于 \( 10 \)
\( \frac{a^3}{36} = 10 \)
解出 \( a \)：
\( a = \sqrt[3] {360} \approx \:7.11378 \)

使用二重积分计算面积

平面 \( xy\) 上区域 \( R \) 的面积 \( A \) 由以下二重积分给出 [6]： \[ A = \displaystyle \iint_R 1 \;dy \;dx \]

例子 4
使用二重积分计算由曲线 \( y = x^2 \) 和 \( y = - (x-2)^2 +4 \) 所围成的区域的面积。
例子 4 的解决方案
我们首先绘制这两条曲线并定义它们所围成的区域。

两条曲线相交于它们的方程组成的方程组的解处：
\( y = x^2 \) 和 \( y = - (x-2)^2 +4 \)
可以通过代入法求解：
\( x^2 = - (x-2)^2 +4 \)
展开并化简：
\( 2 x^2 - 4x = 0 \)
\( 2x(x-4) = 0 \)
上述方程有两个解：
\( x = 0 \) 和 \( x = 4 \)
使用 \( y = x^2 \) 计算 \( y \) 坐标，从而得到交点：
\((0,0) \) 和 \((2,4) \)
由这两条曲线围成的区域 \( R \) 可以定义如下：
\( R: 0 \le x \le 2 , x^2 \le y \le - (x-2)^2 +4 \)
面积 \( A \) 由以下公式给出：
\( A = \displaystyle \int_0^2 \int_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} 1 \;dy \;dx \)
计算内积分：
\( A = \displaystyle \int_0^2 \left[y \right]_{x^2}^{- (x-2)^2 +4} \;dx \)
化简：
\( A = \displaystyle \int_0^2 (-2x^2+4x) \;dx \)
\( A = \left[-\frac{2x^3}{3}+2x^2\right]_0^2 = 8/3 \)

例子 5
使用二重积分计算两个圆 \( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) 和 \( x^2 + y^2 = 9 \) 的公共区域的面积。
例子 5 的解决方案
我们首先绘制这两条曲线并定义它们所围成的区域。两个圆的公共区域以浅蓝色表示。

交点通过解以下方程组求得：
\( x^2 + (y-2)^2 = 9 \) 和 \( x^2 + y^2 = 9 \)
展开左侧方程：
\( x^2 + y^2 - 4 y + 4 = 9 \)
\( x^2 + y^2 = 9 \)
相减方程：
\( - 4 y + 4 = 0 \)
解出 y：
\( y = 1 \)
将 \( y \) 代入任一方程并解出 \( x \) ，得到：
\( x = \pm 2 \sqrt 2 \)
现在可以将区域 \( R \) 定义为：
\( R: -2\sqrt 2 \le x \le 2\sqrt 2 , 2 - \sqrt{9-x^2} \le y \le \sqrt{9-x^2} \)
区域 \( R \) 的面积由以下公式给出：
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \int_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} 1 \;dy \;dx \)
计算内积分：
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \; \left[ y \right]_{2 - \sqrt{9-x^2}}^{\sqrt{9-x^2}} \; \;dx \)
\( A = \displaystyle \int_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \left( 2 \sqrt{9-x^2} - 2 \right) \;dx \)
\( A = \left[ x\sqrt{9-x^2} + 9\arcsin(x/3) - 2x \right]_{-2\sqrt 2}^{2\sqrt 2} \)
注意：积分 \( \int \sqrt{9-x^2}dx \) 的详细内容包含在附录A中。
计算 \( A \)：
\( A = 18\arcsin \left(\frac{2\sqrt{2}}{3}\right)-4\sqrt{2} \approx 16.5 \)

附录

附录A
计算积分：
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2}dx \)
代入：
\( x = 3 \sin u \) ，得到 \( u = \arcsin (x/3) \) 和 \( dx = 3 cos u \; du \)
\( 9 - x^2 = 9 - 9 \sin^2 u \)
\( = 9(1-\sin^2) = 9 \cos^2 u \)
并且
\( \sqrt{9-x^2} = \sqrt{9 \cos^2 u} = 3 \cos u \)
代入并写为：
\( \displaystyle I = \int \sqrt{9-x^2} \; dx = \int (3 \cos u ) \; 3 \cos u \; du \)
\( \displaystyle = 9 \int \cos^2 u du \)
使用幂降三角恒等式写作 \( \cos^2 u = \dfrac{\cos(2u)+1}{2} \)
\( \displaystyle = \dfrac{9}{2} \int \left( \cos(2u)+1\right) du \)
计算：
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{\sin (2u)}{2} + u \right) \)
使用三角恒等式 \( \sin (2u) = 2 \sin u \cos u \)
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \sin u \cos u + u \right) \)
将 \( u \) 替换为 \( \arcsin (x/3) \) ， \( \sin u = \dfrac{x}{3} \) ，\( \sin u = \sqrt {1-sin^2 u } = \sqrt {1 - x^2/9} \) 重写为：
\( \displaystyle I = \dfrac{9}{2} \left( \dfrac{x}{3} \sqrt {1 - \dfrac{x^2}{9}} + \arcsin \left(\dfrac{x}{3}\right) \right) \)
\( \displaystyle I = \dfrac{x}{2} \sqrt {9 - x^2} + \dfrac{9}{2} \arcsin \left(\dfrac{x}{3} \right) \)

上述问题的答案

第一部分：

\( \dfrac{118}{3} \)
\( 72 \)
\( 45 \pi \)
\( \dfrac{8\pi }{3}+\sqrt{3} \)

二重积分的应用

使用二重积分计算体积

使用二重积分计算面积

附录

更多问题与答案

上述问题的答案

更多参考文献与链接