使用二重积分和极坐标求解高斯积分 \( \displaystyle I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) 的方法如下所示。
高斯积分的定义如下：
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \]
我们需要求解 \( I \)。
首先注意到积分 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \) 和 \( \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \) 的值是相等的。因此，我们可以写成：
\( I^2 = \displaystyle \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx \right) \left(\int_{-\infty}^{+\infty} e^{-y^2} dy \right) \)
上述表达式可以写成二重积分的形式如下：
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy \)
令 \( x = r \cos \theta \)，\( y = r \sin \theta \)，\( r^2 = x^2 + y^2 \) 为直角坐标与极坐标之间的关系，并使用上面给出的从直角坐标到极坐标的积分转换(I)。
\( I^2 = \displaystyle \int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-(x^2+y^2)} \; dx \; dy = \int_{0}^{2\pi} \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr \;d\theta \)
注意 \( \displaystyle \int_{0}^{\infty} e^{-r^2} r \;dr = -(1/2) e^{-r^2} \)，因此：
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \left[-(1/2) e^{-r^2}\right]_0^{\infty} \;d\theta \)
可写为：
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} (-1/2) \left[e^{-\infty}-e^0 \right] \;d\theta \)
注意通过极限求解，\( e^{-\infty} = \lim_{a\to\infty} e^{-a} = 0 \)，我们现在求解：
\( I^2 = \displaystyle \int_{0}^{2\pi} \dfrac{1}{2} \;d\theta \)
计算上面的积分：
\( I^2 = \dfrac{1}{2} \left[\theta\right]_0^{2\pi} \)
\( = \dfrac{1}{2} \left[2\pi - 0 \right] \)
\( = \pi \)
到目前为止，我们已经计算出 \( I^2 = \pi \)，因此取平方根得到：
\[ I = \int_{-\infty}^{+\infty} e^{-x^2} dx = \sqrt {\pi}\]