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球坐标系中两个向量之间的角度 - 计算器
计算中使用的公式
给定两个向量的球坐标，此计算器计算两个向量之间的角度 \( \alpha \)。
给定两个向量，其初始点是球坐标系的原点，终点为 \( P_1(\rho_1,\theta_1,\phi_1) \) 和 \( P_2(\rho_2,\theta_2,\phi_2) \) ，用它们的球坐标给出。
图1 - 两个向量之间的角度 \( \alpha\)
我们首先将点 \( P_1 \) 和 \( P_2 \) 的坐标转换为直角坐标 \( P_1(x_1,y_1,z_1) \) 和 \( P_2(x_2,y_2,z_2) \)，其中
\( x_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \cos \theta_1 \) , \( y_1 = \rho_1 \sin \phi_1 \sin \theta_1 \) , \( z_1= \rho_1 \cos \phi_1 \)
\( x_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \cos \theta_2 \) , \( y_2 = \rho_2 \sin \phi_2 \sin \theta_2 \) , \( z_2= \rho_2 \cos \phi_2 \)
向量 \( \vec{OP_1} = \vec V_1 \) 和 \( \vec{OP_2} = \vec V_2 \) 的分量为
\( \vec V_1 \lt x_1 , y_1 , z_1 > \) 和 \( \vec V_2 \lt x_2 , y_2 , z_2 > \)
\( \vec V_1 \) 和 \( \vec V_2 \) 的点积由以下给出
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = ||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_1 || \cos \alpha \)
因此
\( \alpha = \arccos \left(\dfrac {\vec V_1 \cdot \vec V_2}{||\vec V_1 || \cdot ||\vec V_1 ||} \right) \)
其中
\( \vec V_1 \cdot \vec V_2 = x_1 x_2 + y_1 y_2 + z_1 z_2 \)
和
\( ||\vec V_1 || = \sqrt {x_1^2 + y_1^2 + z_1^2} \) 和 \( ||\vec V_2 || = \sqrt {x_2^2 + y_2^2 + z_2^2} \)
注意：
如果 \( ||\vec V_1 || = 0 \) 或 \( ||\vec V_2 || = 0 \)，则两个向量之间的角度未定义
使用计算器计算球坐标系中两个向量之间的角度
1 - 输入点 \( P_1 \) 的球坐标 \( \rho_1 \) , \( \theta_1 \), \( \phi_1 \)，和点 \( P_2 \) 的球坐标 \( \rho_2 \) , \( \theta_2\), \( \phi_2 \)，选择所需的角度单位，并按下“计算”按钮。您还可以根据需要更改小数位数；它必须是正整数。
\( \rho_1 = \)
1
\( \theta1 = \)
45
度
弧度
\( \phi_1 = \)
45
度
弧度
\( \rho_2 = \)
2
\( \theta2 = \)
90
度
弧度
\( \phi_2 = \)
30
度
弧度
Number of Decimal Places =
5
\( \alpha = \)
(度)
\( \alpha = \)
(弧度)
更多参考和链接
数学计算器和求解器
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