傅里叶变换示例
目录
傅里叶变换的定义
傅里叶变换将时间函数（或信号）分解为频率域。
从数学上讲，傅里叶变换定义为[1]，[2]，[3]：
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
其中 \( F(\omega) \) 是函数 \( f(t) \) 的傅里叶变换，\( \omega \) 是角频率，\( j \) 是虚数单位，定义为 \( j = \sqrt {-1} \) 。
我们还可以通过逆傅里叶变换，将傅里叶 \( F(\omega) \) 变换回时间域：
\[ f(t) = \dfrac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j\omega t} d\omega \]
示例1：方波的傅里叶变换
考虑定义为如下的方波函数 \( f(t) \)：
\[
f(t) = \begin{cases} 1, & \text{当 } -\dfrac{T}{2} \leq t \leq \dfrac{T}{2} \\ 0, & \text{其他情况} \end{cases}
\]
方波函数 \( f(t) \) 的傅里叶变换定义为：
\[
F(\omega) = \int_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}} e^{-j\omega t} dt
\]
求解该积分：
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left[ e^{-j\omega t}\right]^{T/2}_{-T/2}
\]
\[
= \dfrac{1}{-j\omega} \left( e^{-j\omega \dfrac{T}{2}} - e^{j\omega \dfrac{T}{2}} \right)
\]
使用 欧拉公式 \( e^{j \; x} = \cos(x)+ j \; \sin(x) \) 将上面的积分重写为：
\[
F(\omega) = \dfrac{1}{-j\omega} \left( \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - \cos\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) - j\sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right) \right)
\]
\[
= \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
因此，方波函数的傅里叶变换为：
\[
F(\omega) = \dfrac{2}{\omega} \sin\left(\dfrac{\omega T}{2}\right)
\]
这是方波函数的幅度谱，显示了不同频率成分的幅度如何随频率变化。
示例2：正弦函数的傅里叶变换
求解正弦函数的傅里叶变换，该函数定义为：
\[ f(t) = A \sin( \omega_0 t) \]
其中：
- \( A \) 是正弦波的幅度，
- \( \omega_0 \) 是正弦波的角频率，
- \( t \) 是时间。
正弦函数 \( f(t) \) 的傅里叶变换为：
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} f(t) e^{-j\omega t} dt \]
将 \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) 代入，得到：
\[ F(\omega) = \int_{-\infty}^{\infty} A \sin( \omega_0 t) e^{-j\omega t} dt \]
我们可以使用欧拉公式重写正弦函数：
\[ \sin(x) = \dfrac{e^{jx} - e^{-jx}}{2\;j} \]
因此，我们有：
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2i} \int_{-\infty}^{\infty} (e^{j(\omega_0 - \omega t)} - e^{-j(\omega_0 t + \omega t)}) dt \]
分别计算这些积分：
\[ F(\omega) = \dfrac{A}{2 \; j} \left( \int_{-\infty}^{\infty} e^{j(\omega_0 t - \omega t)} dt - \int_{-\infty}^{\infty} e^{-j(\omega_0 + \omega t)} dt \right) \]
我们可以使用 狄拉克 delta 函数的性质来计算这些积分。当 \( \omega = \omega_0 \) 时，第一个积分将产生 \( 2\pi \delta(\omega - \omega_0) \)，第二个积分将产生 \( 2\pi \delta(\omega + \omega_0) \)。
因此，函数 \( f(t) = A \sin(\omega_0 t) \) 的傅里叶变换为：
\[ F(\omega) = -j \pi A (\delta(\omega - \omega_0) + j \pi A \delta(\omega + \omega_0)) \]
结果表明，傅里叶变换由位于频率 \( \omega = \pm \omega_0 \) 的两个脉冲组成，其幅度为 \( \pi A \)。
更多参考资料和链接
[1] - University Calculus - Early Transcendental - Joel Hass, Maurice D. Weir, George B. Thomas, Jr., Christopher Heil - ISBN-13 : 978-0134995540
[2] - Calculus - Gilbert Strang - MIT - ISBN-13 : 978-0961408824
[3] - Calculus - Early Transcendental - James Stewart - ISBN-13: 978-0-495-01166-8
傅里叶级数和变换公式