低通滤波器传递函数
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本文详细分析了一阶和二阶无源低通滤波器的数学原理。
研究一阶和二阶低通滤波器所涉及的数学非常复杂。然而，一个
低通滤波器传递函数图形计算器 已经包括在内，可用于更多的练习。
\( \) \( \) \( \)\( \)
无源元件的阻抗
电阻为 \( R \) 的电阻器的阻抗 \( Z_R \) 表示为：
\( \quad Z_R = R \)
电容为 \( C \) 的电容器的阻抗 \( Z_C \) 和电感为 \( L \) 的电感器的阻抗 \( Z_L \) 以 复数形式 分别表示为：
\( \quad Z_C = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} = \dfrac{1}{s \; C} \)
\( \quad Z_L = j \; \omega \; L = s \; L \)
其中 \( s = j \; \omega \)
一阶低通滤波器的传递函数
让我们来看下图。当输入信号 \( v_{in} \) 的频率 \( f \) 降低时，角频率 \( \omega \; ( \; = \; 2\pi f ) \) 下降，电容 \( Z_{C_1} = \dfrac{1}{s \; C} = \dfrac{1}{j \; \omega \; C} \) 的阻抗增加，因此电阻 \( R \) 上的电压趋近于零，输出电压 \( v_{out} \) 趋近于 \( v_{in} \)。
随着频率增加，电容的阻抗减少到零，因此输出电压 \( v_{out} \) 趋近于零。因此，图1中的RC电路只允许低频通过到输出。这就是低通滤波器。
图1 - RC低通滤波器
设 \( H = \dfrac{V_{out}}{V_{in}} \) 为传递函数。
图1中的电路是一个分压器，使用复数形式的阻抗，我们有：
\( \qquad H(s) = \dfrac{Z_{C_1}}{Z_{C_1} + Z_{R_1}} \)
将 \( Z_{C_1} = \dfrac {1}{s \; C_1} \) 和 \( Z_{R_1} = R_1 \) 代入上式，得到：
\( \qquad H(s) = \dfrac{ \dfrac {1}{s \; C_1}}{\dfrac {1}{s \; C_1} + R_1} \)
并简化为：
\[ H(s) = \dfrac{ 1}{1 + R_1 \; C_1 \; s } \quad (I)\]
或者
\[ H(\omega) = \dfrac{ 1}{1 + j \; R_1 \; C_1 \; \omega } \quad (II) \]
注意 滤波器的阶数由传递函数中 \( s \) 的最大幂次决定。上式 (I) 中 \( s \) 的最大幂次为 \( 1 \)，因此该滤波器为 一阶滤波器。
\( H(\omega) \) 是一个复数函数，形式为两个函数的商：
\( \qquad H(\omega) = \dfrac{Z_1}{Z_2} \)
根据复数理论，幅值由以下公式给出：
\[ \qquad |H(\omega)| = \dfrac{|Z_1|}{|Z_2|} \]
相位（在交流电路中）由以下公式给出：
\( H(\omega) \) 的相位 = \( Z_1 \) 的相位 - \( Z_2 \) 的相位
注意 相位（在复数中）和相位（在交流电路中）是相同的量。
传递函数 \( H(\omega) \) 的 幅值 \( |H(\omega)| \) 和 相位 \( \Phi(\omega) \) 表示为：
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1^2+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left(R_1 \; C_1 \; \omega \right) \]
一阶低通滤波器的 \( - 3 \) dB 截止频率
截止角频率 \( \omega_c \) 定义为使下式成立的频率：
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
将 \( |H(\omega_c)| \) 的表达式代入上式，得到：
\[ \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2}} = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
将上式两边平方并重写为：
\[ \dfrac{1}{1+(R_1 \; C_1 \; \omega_c)^2 } = \dfrac{1}{2}\]
解得：
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 C_1} \]
一阶低通滤波器的示例
设 \( R_1 = 100 \; \Omega \) 和 \( C_1 = 1 \; \mu F \)
将 \( R_1 \) 和 \( C_1 \) 的数值代入，得到：
\[ \omega_c = \dfrac{1}{R_1 \; C_1} = \dfrac{1}{100 \times 1 \times 10^{-6} } = 10000 \; \text{ rad/s } \]
\[ |H(\omega)| = \dfrac{1}{\sqrt{1+(10^{-4} \times \omega)^2}}\]
\[ |\Phi(\omega)| = - \arctan \left( 10^{-4} \times \; \omega \right) \]
注意 为了更好地展示滤波器允许的频率范围内幅值 \( |H(\omega)| \) 的平坦性，我们在半对数图上绘制
\[ 20 \log_{10} (| H(\omega) |) \] ，其单位为分贝，写作 \( dB \)。
在截止频率 \( \omega = \omega_c \) 处，我们有：
\[ |H(\omega_c)| = 20 \log_{10} \dfrac{1}{\sqrt{1+1}} = -3.01029 dB\]
以及
\[ |\Phi(\omega_c)| = - \arctan ( 1) = - 45^{\circ} \]
注意 \( \omega_c \) 被称为 \( - 3 \text{ dB} \) 截止频率。
大频率下图形的斜率
对于大频率 \( \omega \) ，项 \( (R_1 \; C_1 \; \omega)^2 \) 远大于 \( 1 \) ，因此可以进行以下近似：
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{1+(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{\sqrt{(R_1 \; C_1 \; \omega)^2}} \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega} \]
对于 \( \omega = \omega_1 \)，
\[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
对于 \( \omega = 10 \; \omega_1 \)，
\[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{10 \; R_1 \; C_1 \; \omega_1} \]
\[ 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{10}) = -20 \]
因数 \( 10 \) 为十倍数，因此我们称图形的斜率为 \( -20 \; \text{dB} \) 每十倍数。
下图中的点 \( A \) 和 \( B \) 说明了上述结果。点 \( A \) 位于频率 \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \) ，点 \( B \) 位于频率 \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\)。从 \( A \) 移动到 \( B \) 时，幅值降低了 \( 20 \; \text{dB} \)。
注意 这种行为发生在高于截止频率的频率范围内。
下图展示了 \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) 和相位 \( \Phi(\omega) \) 的图形。
图2 - 一阶RC低通滤波器的传递函数
相位 \( \Phi \) 在 \( \omega = \omega_c \) 处为 \( -45^{\circ} \)
图3 - 一阶RC低通滤波器的相位
二阶低通滤波器的传递函数
现在我们分析两个级联低通滤波器的传递函数。
一般情况下，如下图所示的 级联电路的传递函数 \( H(s) \) 给出如下公式：
图4 - 两个级联电路
公式为：
\[ H(s) = \dfrac{Z_4 \; Z_2 }{(Z_1 + Z_2)(Z_4 + Z_3 ) + Z_1 \; Z_2} \qquad (I) \]
现在我们使用上面的公式 (I) 来求解二阶低通滤波器的传递函数，二阶低通滤波器是如下面的两个级联低通滤波器所示。
图5 - 二阶RC-RC低通滤波器
将 \( Z_2 = R_2 \)、 \( Z_3 = Z_{C_2} = \dfrac{1}{C_2 \;s} \)、 \( Z_3 = R_3 \) 和 \( Z_4 = Z_{C_3} = \dfrac{1}{C_3 \;s} \) 代入上面的公式 (I)，得到：
\[ H(s) = \dfrac{1 }{ R_2 R_3 C_2 C_3 \; s^2 + (R_2 C_2 + R_3 C_3 + R_2 C_3) \; s + 1} \]
注意 最高的 \( s \) 幂次为 \( 2 \)，因此该滤波器为 二阶滤波器。
将 \( s = j \; \omega \) 和 \( s^2 = - \omega^2\) 代入上式 \( H(s) \) 得到：
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \; \omega^2 + j \;(R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 ) \; \omega } \]
设：
\[ A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 \]
以及：
\[ B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 \]
将 \( H(\omega) \) 重写为：
\[ H(\omega) = \dfrac{1 }{ 1 - A \omega^2 + j \;B \; \omega } \]
传递函数 \( H(\omega) \) 的幅值和相位为：
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} \]
\[ \Phi (\omega) = - \arctan \left(\dfrac{ \;B \; \omega }{ 1 - A \omega^2 }\right) \]
二阶低通滤波器的 \( - 3 \text{ dB} \) 截止频率
截止角频率 \( \omega_c \) 是指满足以下条件的频率：
\[ |H(\omega_c)| = \dfrac{1}{\sqrt 2}\]
将 \( |H(\omega_c)| \) 的表达式代入上式，得到：
\( \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega_c^2)^2 + (B\omega_c)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt 2} \)
将上式平方并重写为：
\( A^2 \omega_c^4 + (B^2 - 2 \; A) \; \omega_c^2 - 1 =0 \)
上式为 \( \omega_c^2 \) 的二次方程，因此有4个解，但只有一个适合该问题，其表达式为：
\[ \omega_c = \sqrt {\dfrac{{- B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A^2}} \]
将上式重写为：
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt {\dfrac{{-B^2 + 2 \; A + \sqrt{B^4 - 4 \; B^2 \; A + 8 \; A^2}}}{2 \; A}} \]
该表达式可以重写为：
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { - \dfrac{B^2}{2 \; A} + 1 + \sqrt{ \dfrac{B^4}{4 \; A^2} - \dfrac{4 B^2 \; A}{4 \; A^2} + 8 \dfrac{A^2}{4 A^2} } } \]
设 \( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} \) 得到 \( B^2 = 4 \; A \; r^2 \) 和 \( B^4 = 16 \; A^2 \; r^4 \)
将 \( B^2 \) 和 \( B^4 \) 代入 \( \omega_c \) 的最后一个表达式并简化得到：
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt A} \sqrt { 1 - 2 r^2 + \sqrt{ 4 r^4 - 4 r^2+ 2 } } \]
二阶低通滤波器的示例
设 \( R_2 = 100 \; \Omega \)、 \( C_2 = 1 \; \mu F \)、 \( R_3 = 100 \; \Omega \)、 \( C_3 = 1 \; \mu F \)
\( A = R_2 \; R_3 \; C_2 \; C_3 = 100 \times 1 \times 10^{-6} \times 100 \times 1 \times 10^{-6} = 1 \times 10^{-8}\)
以及：
\( B = R_2 \; C_2 + R_3 \; C_3 + R_2 \; C_3 = 100 \times 1 \times 10^{-6} + 100 \times 1 \times 10^{-6} + 100 \times 1 \times 10^{-6} = 3 \times 10^{-4} \)
\( r = \dfrac{B}{2 \sqrt A} = \dfrac{ 3 \times 10^{-4}}{2 \sqrt {1 \times 10^{-8}}} = 1.5 \)
\[ \omega_c = \dfrac{1}{\sqrt { 1 \times 10^{-8}}} \sqrt { 1 - 2 (1.5)^2 + \sqrt{ 4(1.5)^4 - 4 (1.5)^2+ 2 } } = 3742.3 \; \text{rad/s} \]
大频率下图形的斜率
首先，我们展开 \( | H(\omega) | \) 分母中的表达式：
\[ | H(\omega) | = \dfrac{1}{\sqrt{ (1 - A\; \omega^2)^2 + (B\omega)^2 }} = \dfrac{1}{\sqrt{ 1 - 2 A \omega^2 + A^2 \omega^4 + B^2\omega^2 }} \]
对于大频率 \( \omega \) ，项 \( A^2 \omega^4 \) 远大于分母平方根中的所有其他项，因此我们可以进行以下近似：
\[ | H(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega^2} \]
对于 \( \omega = \omega_1 \) ，
\[ | H_1(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; \omega_1^2} \]
对于 \( \omega = 10 \omega_1 \) ，
\[ | H_2(\omega) | \approx \dfrac{1}{A \; (10 \; \omega_1)^2} \]
\( 20 \log_{10} | H_2 | - 20 \log_{10} | H_1 | = 20 \log_{10} \left( \dfrac{|H_2|}{|H_1|} \right) = 20 \log_{10} (\dfrac{1}{100}) = -40 \)
因数 \( 10 \) 为十倍数，因此我们称图形的斜率为 \( -40 \; \text{dB} \) 每十倍数。
下图展示了 \( 20 \; \log_{10} H(\omega) \) 和相位 \( \Phi(\omega) \) 的图形。
图中的点 \( A \) 和 \( B \) 说明了上述结果。点 \( A \) 位于频率 \( \omega_1 = 100000 \; \text{rad/s} \)，点 \( B \) 位于频率 \( \omega = 1000000 \; \text{rad/s} = 10 \; \omega_1\)。从 \( A \) 移动到 \( B \) 时，幅值降低了 \( 40 \; \text{dB} \)。
图2 - 二阶RC低通滤波器的传递函数
图3 - 二阶RC低通滤波器的相位
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