展示了如何使用拉普拉斯变换求解普通微分方程 (ODE) 的示例。
使用拉普拉斯变换求解微分方程的主要优势之一是，拉普拉斯变换将微分方程转化为代数方程。
涉及部分分式分解的繁重计算详见页面底部的附录。
示例 1
使用拉普拉斯变换求解微分方程
\[ - 2 y' + y = 0 \]
初始条件为 \( y(0) = 1 \)，且 \( y \) 是时间 \( t \) 的函数。
示例 1 解答
设 \( Y(s) \) 为 \( y(t) \) 的拉普拉斯变换。
对给定微分方程的两边进行拉普拉斯变换：\( \mathscr{L}\{ y(t) \} = Y(s) \)
\( \mathscr{L}\{ -2 y' + y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
利用拉普拉斯变换的线性性质将方程重写为
\( - 2 \mathscr{L}\{ y'\} + \mathscr{L}\{ y\} = \mathscr{L}\{0 \} \)
利用拉普拉斯变换的导数性质将项 \( \mathscr{L}\{ y'\} = (s Y(s) - y(0)) \) 重写。
\( - 2 ( s Y(s) - y(0)) + Y(s) = 0 \)
展开上述方程为
\( - 2 s Y(s) + 2 y(0) + Y(s) = 0 \)
用给定的初始值代替 \( y(0) \)
\( - 2 s Y(s) + 2 + Y(s) = 0 \)
求解 \( Y(s) \)
\( Y(s) (1 - 2 s) = -2 \)
\( Y(s) = \dfrac{2}{2 s - 1} \)
\( Y(s) = \dfrac{1}{ s - 1/2} \)
现在使用拉普拉斯变换公式表中的公式 (3) 来找到 \( Y(s) \) 的反拉普拉斯变换，得到
\( \displaystyle y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \)
注意：检查解答
检查得到的解 \( y(t) = e^{\frac{1}{2} t } \) 是否满足给定的微分方程
\( - 2 y' + y = - 2 ( (1/2) e^{\frac{1}{2} t } ) + e^{\frac{1}{2} t } \)
简化以上方程
\( - e^{\frac{1}{2} t } + e^{\frac{1}{2} t } = 0 \) ；微分方程满足。
\( y(0) = e^{\frac{1}{2} 0 } = e^0 = 1 \) ；初始值也满足。
示例 2
使用拉普拉斯变换求解微分方程
\[ y'' - 2 y' -3 y = 0 \]
初始条件为 \( y(0) = 2 \) 和 \( y'(0) = - 1 \)，且 \( y \) 是时间 \( t \) 的函数。
示例 2 解答
设 \( Y(s) \) 为 \( y(t) \) 的拉普拉斯变换。
对给定微分方程的两边进行拉普拉斯变换
\( \mathscr{L}\{ y'' - 2 y' -3 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
利用拉普拉斯变换的线性性质将方程重写为
\( \mathscr{L}\{ y"\} - 2 \mathscr{L}\{ y'\} - 3 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
使用导数性质将项 \( \mathscr{L}\{ y"\} \) 和 \( \mathscr{L}\{ y'\} \) 重写并简化右侧。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - 2 (sY(s) - y(0)) - 3 Y(s) = 0 \)
用数值代替 \( y(0) \) 和 \( y'(0) \) 并展开
\( s^2 Y(s) - 2 s + 1 - 2 s Y(s) + 4 - 3Y(s) = 0 \)
将类似项分组并将含 \( Y(s) \) 的项留在左边
\( s^2 Y(s) - 2 s Y(s) - 3 Y(s) = 2 s - 5 \)
提取 \( Y(s) \) 的公因式
\( Y(s) (s^2 - 2 s - 3 ) = 2 s - 5 \)
求解 \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} \)
将右侧展开为部分分式（详见页面底部的附录 A）
\( Y(s) = \dfrac{7}{4\left(s+1\right)}+\dfrac{1}{4\left(s-3\right)} \)
现在使用拉普拉斯变换公式表中的公式 (3) 来找到 \( Y(s) \) 的反拉普拉斯变换，得到
\( \displaystyle y(t) = \dfrac{7}{4} e^{- t } + \dfrac{1}{4} e^{3 t } \)
可以检查得到的解是否满足微分方程和给定的初始值。
示例 3
使用拉普拉斯变换求解微分方程
\[ y'' + 2 y' + 2 y = 0 \]
初始条件为 \( y(0) = -1 \) 和 \( y'(0) = 2 \)，且 \( y \) 是时间 \( t \) 的函数。
示例 3 解答
设 \( Y(s) \) 为 \( y(t) \) 的拉普拉斯变换。
对给定微分方程的两边进行拉普拉斯变换
\( \mathscr{L}\{ y'' + 2 y' + 2 y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
利用拉普拉斯变换的线性性质将方程重写为
\( \mathscr{L}\{ y"\} + 2 \mathscr{L}\{ y'\} + 2 \mathscr{L}\{ y \} = \mathscr{L}\{0 \} \)
使用导数性质将项 \( \mathscr{L}\{ y"\} \) 和 \( \mathscr{L}\{ y'\} \) 重写并简化右侧。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) + 2 (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = 0 \)
用数值代替 \( y(0) \) 和 \( y'(0) \) 并展开
\( s^2 Y(s) + s - 2 + 2 s Y(s) + 2 + 2 Y(s) = 0 \)
将类似项分组并将含 \( Y(s) \) 的项留在方程左边
\( s^2 Y(s) + 2 s Y(s) + 2 Y(s) = - s \)
提取 \( Y(s) \) 的公因式
\( Y(s) (s^2 + 2 s + 2 ) = - s \)
求解 \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{-s}{s^2 + 2 s + 2} \)
通过求解方程对复数因子化分母
\( s^2 + 2 s + 2 = 0 \)
得到两个复数解
\( S_1 = -1 + j \) 和 \( s_2 = -1 - j \)
因子化
\( Y(s) = \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
将右侧展开为部分分式（详见页面底部的附录 B）
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
其中
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
和
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
使用公式表中的公式来找到 \( Y(s) = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \) 的反拉普拉斯变换
\( y(t) = A e^{s_1 t} + B e^{s_2 t} \)
将 \( A \) 和 \( B \) 写成指数形式
\( A = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j} \)
\( B = -\dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j = \frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j} \)
用它们的数值代替 \( s_1 \)、\( s_2 \)、\( A \) 和 \( B \)，并将 \( y(t) \) 重写为
\( y(t) = (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{-3\pi}{4} j}) e^{(-1 + j) t} + (\frac{\sqrt 2}{2} e^{ \frac{3\pi}{4} j}) e^{(-1 - j) t} \)
提取并合并指数项的公因式 \( \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \)
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ e^{j t - \frac{3\pi}{4} j } + e^{-j t + \frac{3\pi}{4} j } \right] \)
使用欧拉公式（ \( e^jx = \cos x + j \sin x \) ）简化括号内的项
\( y(t) = \dfrac{\sqrt 2}{2} e^{-t} \left[ \cos(t - \frac{3\pi}{4}) + j\sin(t - \frac{3\pi}{4}) + \cos(-t + \frac{3\pi}{4}) + j\sin(- t + \frac{3\pi}{4}) \right] \)
简化为
\( y(t) = \sqrt 2 e^{-t} \cos(t - \frac{3\pi}{4}) \)
可以检查得到的解是否满足微分方程和给定的初始值。
示例 4
使用拉普拉斯变换求解微分方程
\[ y'' - y' - 2 y = \sin(3t) \]
初始条件为 \( y(0) = 1 \) 和 \( y'(0) = -1 \)。
示例 4 解答
设 \( Y(s) \) 为 \( y(t) \) 的拉普拉斯变换。
对给定微分方程的两边进行拉普拉斯变换
\( \mathscr{L}\{ y'' - y' - 2 y \} = \mathscr{L}\{ \sin(3t) \} \)
利用拉普拉斯变换的线性性质展开左侧并使用表格来计算右侧。
\( \mathscr{L}\{ y"\} - \mathscr{L}\{ y'\} - 2 \mathscr{L}\{ y \} = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
使用导数性质将项 \( \mathscr{L}\{ y"\} \) 和 \( \mathscr{L}\{ y'\} \) 重写并简化右侧。
\( s^2 Y(s) - s y(0) - y'(0) - (sY(s) - y(0)) + 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
用数值代替 \( y(0) \) 和 \( y'(0) \) 并展开
\( s^2 Y(s) - s + 1 - s Y(s) + 1 - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} \)
将类似项分组并将含 \( Y(s) \) 的项留在方程左边
\( s^2 Y(s) - s Y(s) - 2 Y(s) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
提取 \( Y(s) \) 的公因式
\( Y(s) (s^2 - s - 2 ) = \dfrac{3}{s^2+3^2} + s - 2 \)
求解 \( Y(s) \)
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2} \)
将 \( s^2 - s - 2 \) 项分母因子化
\( Y(s) = \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)} \)
可以展开为部分分式（详见页面底部的附录 C）。
\( Y(s) = \dfrac{3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)
现在使用拉普拉斯变换公式表中的公式找到 \( Y(s) \) 的反拉普拉斯变换，得到
\( y(t) = \dfrac{3}{130} \cos(3x) - \dfrac{11}{130} \sin(3x) + \dfrac{9}{10} e^{-x} +\dfrac{1}{13} e^{2x}\)
示例 2 的部分分式分解
因子化分母
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{2s - 5}{(s-3)(s+1)} \)
展开为部分分式
\( \dfrac{2s - 5}{s^2 - 2 s - 3} = \dfrac{A}{s+1} + \dfrac{B}{s-3} \)
将以上各项乘以 \( (s-3)(s+1) \) 并简化
\( 2s - 5 = A(s-3) + B(s+1) \) (1)
在方程 (1) 中令 \( s = 3 \)
2(3) - 5 = A(3 -3) + B(3+1)
简化并求解 \( B \)
\( B = 1/4 \)
在方程 (1) 中令 \( s = - 1 \)
\( 2(-1) - 5 = A(-1-3) + B(-1+1) \)
简化并求解 \( A \)
\( A = \dfrac{7}{4} \)
示例 3 的部分分式分解
部分分式分解 \( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} \)
\( \dfrac{-s}{(s - s_1)(s - s_2)} = \dfrac{A}{s-s_1} + \dfrac{B}{s-s_2} \)
将以上各项乘以 \( (s - s_1)(s - s_2) \) 并简化
\( - s = A (s-s_2) + B(s - s_1) \) (1)
在 \(s=s_1 \) 处求值
\( - s_1 = A (s_1-s_2) + B(s_1 - s_1) \)
简化
\( -s_1 = A (s_1-s_2) \)
求解 \( A \)
\( A = \dfrac{-s_1}{s_1-s_2} = \dfrac{-(-1 + j)}{2 j} = -\dfrac{1}{2} - \dfrac{1}{2} j \)
在方程 (1) 的 \( S = s_2 \) 处求值并以类似于上面求 \( A \) 的方式求 \( B \)
\( B = \dfrac{-s_2}{s_2-s_1} = \dfrac{-(-1 - j)}{-2 j} = - \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2} j \)
示例 4 的部分分式展开
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
因子化分母
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{s-2}{(s-2)(s+1)}\)
简化右侧项
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} \)
表示为部分分式
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s-2)(s+1)} + \dfrac{1}{s+1} = \dfrac{As + B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
将以上各项乘以分母 \( (s^2+3^2)(s-2)(s+1) \) 并简化
\( 3 + (s^2+3^2)(s-2) = (As + B)(s-2)(s+1) + C (s^2+3^2)(s-2) + D (s^2+3^2)(s+1) \) (1)
选择 \( s \) 的值，以简化系数 \( A, B, C \) 和 \( D \) 的计算
在方程 (1) 中令 \( s = 2 \)
\( 3 + (2^2+3^2)(2-2) = (2 A + B)(2-2)(s+1) + C (2^2+3^2)(2-2) + D (2^2+3^2)(2+1) \)
简化
\( 3 = 39 D \)
求解 \( D \)
\( D = \dfrac{1}{13} \)
在方程 (1) 中令 \( s = -1 \)
\( 3 + ((-1)^2+3^2)(-1-2) = (-A + B)(-1-2)(-1+1) + C ((-1)^2+3^2)(-1-2) + D ((-1)^2+3^2)(-1+1) \)
简化
\( 3 - 30 = - 30 C \)
求解 \( C \)
\( C = \dfrac{9}{10} \)
在方程 (1) 中令 \( s = 0 \)
\( 3 +(0^2+3^2)(0-2) = (0 + B)(0-2)(0+1) + C (0^2+3^2)(0-2) + D (0^2+3^2)(0+1) \)
简化
\( 3 - 18 = -2 B - 19 C + 9D \)
代入 \( C \) 和 \( D \) 的数值并求解 \( B \)
\( B = -\dfrac{33}{130} \)
在方程 (1) 中令 \( s = 1 \)
\( 3 + (1^2+3^2)(1-2) = (A + B)(1-2)(1+1) + C (1^2+3^2)(1-2) + D (1^2+3^2)(1+1) \)
代入上面得到的数值 \( B, C \) 和 \( D \) 并求解 \( A \)
\( A = \dfrac{3}{130} \)
因此
\( \dfrac{3}{(s^2+3^2)(s^2 - s - 2)} + \dfrac{s-2}{s^2 - s - 2}\)
\( \quad \quad = \dfrac{As}{s^2+3^2} + \dfrac{B}{s^2+3^2} + \dfrac{C}{s+1} + \dfrac{D}{s-2} \)
\( \quad \quad = \dfrac{ 3s}{130(s^2+3^2)} - \dfrac{33}{130(s^2+3^2)} + \dfrac{9}{10(s+1)} + \dfrac{1}{13(s-2)} \)