定义：如果 \( f(t) \) 是一个单侧函数，满足 \( f(t) = 0 \) 对于 \( t \lt 0 \)，那么拉普拉斯变换 \( F(s) \) 定义为
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
其中 \( s \) 可以是一个使上述广义积分收敛的复数。
为了适应如 \( \delta(t) \) 这样的函数，更精确的拉普拉斯变换定义为
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
拉普拉斯变换计算，包括示例和解答。
函数 | 变换 |
|---|---|
| \( f(t) \) | \( F(s) \) |
| \( u(t) \) | \( \dfrac{1}{s} \) |
| \( t^n \) | \( \dfrac{n!}{s^{n+1}} \) |
| \( e^{-at} \) | \( \dfrac{1}{s+a} \) |
| \( t^n e^{-at} \) | \( \dfrac{n!}{(s+a)^{n+1}} \) |
| \( \sin \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \sin \omega t \) | \( \dfrac{2 \omega s}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \cos \omega t \) | \( \dfrac{s}{s^2+\omega^2} \) |
| \( t \cos \omega t \) | \( \dfrac{s^2 - \omega^2}{(s^2+\omega^2)^2} \) |
| \( \sinh \omega t \) | \( \dfrac{\omega}{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \cosh \omega t \) | \( \dfrac{s }{s^2 - \omega^2} \) |
| \( \delta( t - \tau) \) | \( e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
| \( u( t - \tau) \) | \( \dfrac{1}{s} e^{-s \tau} \) , \( \tau \ge 0 \) |
注意
1) \( \delta( t ) \) 是狄拉克delta函数，在工程中也称为冲激函数。
2) \( u( t) \) 是海维赛德阶跃函数。