提供了包含逐步解释的拉普拉斯变换计算示例。
如果 \( f(t) \) 是一个单侧函数，满足 \( f(t) = 0 \) 对于 \( t \lt 0 \)，那么拉普拉斯变换
\( F(s) \) 定义为广义积分
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
或者更精确的定义，以适应如例子5中将看到的delta函数 \( \delta (t) \)。
\[ \mathscr{L}\{f(t)\} = F(s) = \int_{0^{-}}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \]
其中 \( s \) 可以是一个复数，使得上述广义积分收敛。
在下文中，\( j \) 表示虚数单位，定义为 \( j = \sqrt{-1} \)
示例 1
求解函数 \( f(t) \) 的拉普拉斯变换，函数定义为
\[ f(t) = 1 \]
示例1的解答
使用上面给出的拉普拉斯变换定义
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} f(t) e^{-st} dt \)
在积分区间 \( [0, \infty ) \) 上，\( f(t) = 1 \)，因此 \( F(s) \) 简化为
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{-st} dt \)
计算上述广义积分如下
\( \displaystyle F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ -\dfrac{1}{s} e^{-st} \right]_{0}^{T} \)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} - \dfrac{e^{-sT} - e^{0}}{s} \)
如果 \( s \) 的实部大于零，则 \( \lim_{T \to +\infty} e^{-sT} = 0\)，因此积分收敛且 \( F(S) \) 的表达式为
\[ F(S) = \dfrac{1}{s} \]
示例 2
求解函数 \( f(t) \) 的拉普拉斯变换，函数定义为
\[ f(t) = e^{at} \]
示例2的解答
使用上面给出的定义
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} e^{at} e^{-st} dt \)
简化指数
\( \displaystyle \quad \quad = \int_{0}^{+\infty} e^{(a-s)t} dt \)
计算上述广义积分
\( F(S) = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{a - s} e^{(a-s)t} \right]_{0}^{T} \)
\( \displaystyle \quad \quad = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(a-s)T} - e^{0}}{a-s} \)
对于 \( s \) 的实部大于 \( a\) 的实部，\( \lim_{T \to +\infty} e^{(a-s)T} = 0\)，因此积分收敛且 \( F(S) \) 的表达式为
\[ F(S) = \dfrac{1}{s - a} \]
示例 3
求解函数 \( f(t) \) 的拉普拉斯变换，函数定义为
\[ f(t) = \sin(\omega t) \]
示例3的解答
使用上面给出的定义
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \sin(\omega t) e^{-st} dt \)
将 \( \sin(\omega t) \) 表示为指数形式
\( \sin(\omega t) = \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} \)
代入并计算积分
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t } - e^{ - j \omega t }}{2 j} e^{-st} dt \)
拆分被积式并将积分写为积分的和/差
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{j \omega t} e^{- s t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{-j \omega t}e^{ - st}}{2 j} dt \)
合并指数并将 \( t \) 提出
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (j \omega - s) t}}{2 j} dt - \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(j \omega + s) t}}{2 j} dt \)
计算积分
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2j( j \omega - s)} e^{(j\omega-s)t} \right]_{0}^{T} - \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{-2j( j \omega + s)} e^{ - (j\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T} - e^0}{2j( j \omega - s)} - \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega-s)T }- e^0}{-2j( j \omega + s)} \)
如果 \( s \) 的实部大于零，则 \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(j\omega-s)T}}{2j( j \omega - s)} = 0 \) 和 \( \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{ - (j\omega + s)T }}{-2j( j \omega + s)} = 0 \)，因此积分收敛且 \( F(S) \) 的表达式为
\( \displaystyle F(s) = - \dfrac {1}{2j( j \omega - s)} - \dfrac {1}{2j( j \omega + s)} \)
统一分母并简化得
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{\omega}{\omega^2+s^2} \]
示例 4
求解函数 \( f(t) = \cosh(\omega t) \) 的拉普拉斯变换。
示例4的解答
使用拉普拉斯变换的定义
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \cosh(\omega t) e^{-st} dt \)
将 \( \cosh(\omega t) \) 表示为指数形式
\( \cosh(\omega t) = \dfrac{e^{\omega t}+e^{-\omega t}}{2} \)
代入并计算积分
\( \displaystyle F(s) = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{\omega t } + e^{-\omega t }}{2 } e^{-st} dt \)
拆分被积式
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ \omega t} e^{ - s t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -\omega t}e^{ - st}}{2} dt \)
合并指数并将 \( t \) 提出
\( \quad \quad \displaystyle = \int_{0}^{+\infty} \dfrac{e^{ (\omega - s)t }}{2} dt + \int_{0}^{+\infty} \dfrac{ e^{ -(\omega + s)t}}{2} dt \)
计算积分
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{2( \omega - s)} e^{(\omega-s)t} \right]_{0}^{T} + \lim_{T \to +\infty} \left[ \dfrac{1}{ - 2( \omega + s)} e^{ - (\omega+s)t} \right]_{0}^{T}\)
\( \quad \quad \displaystyle = \lim_{T \to +\infty} \dfrac{e^{(\omega-s)T}-e^0}{2( \omega - s)} + \lim_{T \to +\infty} \dfrac{ e^{ - (\omega+s)T} - e^0 }{ - 2( \omega + s)} \)
对于 \( s \) 的实部大于 \( \omega \)，\( \lim_{T \to +\infty} e^{(\omega-s)T} = 0 \) 且 \( \lim_{T \to +\infty} e^{-(\omega + s)T} = 0 \)，因此积分收敛，表达式为
\( \quad \quad \displaystyle F(s) = \dfrac{-1}{2(\omega - s)} + \dfrac{-1}{-2(\omega + s)} \)
简化得
\[ \displaystyle F(s) = \dfrac{s}{s^2 - \omega^2} \]
示例 5 Dirac Delta 函数的拉普拉斯变换。
求解 delta 函数的拉普拉斯变换: a) \( \delta (t) \) 和 b) \( \delta (t - a) , a \gt 0\)
示例5的解答
我们首先回忆一下包含 delta 函数 的积分的计算方法
\[
\displaystyle \int_{A}^{B} f(t) \delta(t - a) dt =
\begin{cases}
1 & \text{当} A \lt a \lt B \\
0 & \text{否则} \\
\end{cases}
\]
a)
求 \( \delta (t) \) 的拉普拉斯变换时，我们需要用到拉普拉斯变换的精确定义
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt \)
积分区间从 \( 0^{-} \) 开始，以适应delta函数 \( \delta(t) \) 在积分中的表现，如上所示。
计算上述积分
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t)\} = \int_{0^{-}}^{+\infty} \delta(t) e^{-st} dt = e^0 = 1 \)
b)
对于函数 \( \delta (t - a) , a \gt 0\)，
由于 \( a \gt 0 \)，拉普拉斯变换的定义给出
\( \displaystyle \mathscr{L}\{\delta(t - a)\} = \int_{0}^{+\infty} \delta(t - a) e^{-st} dt = e^{-as} \)