本文介绍了交流电路中的平均功率的计算，附有示例及其解决方案。还包括带解决方案的问题。
考虑下图中的电路
设阻抗 \( Z \) 用极坐标形式表示为 \( Z = |Z| \; e^{j\theta} \)
设 \( v_i (t) = V_0 \; \cos(\omega t) \)
因此
\( i (t) = \dfrac{V_0}{|Z|} \; \cos (\omega t - \theta) \)
瞬时功率 \( P(t) \) 传递给阻抗 \( Z \) 的公式为
\[ P(t) = i(t) \; v(t) = \dfrac{V_0^2}{|Z|} \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \]
平均功率定义为
\[ P_a = \displaystyle \dfrac{1}{T} \int_0^T P(t) dt \]
将上面得到的 \( P(t) \) 表达式代入，平均功率的公式为
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \cos ( \omega t - \theta) \; \cos(\omega t) \; dt \)
展开：\( \quad \cos ( \omega t - \theta) = \cos \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \sin \theta \)，并代入到 \( P_a \)
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; (\cos^2 \omega t \; \cos \theta + \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta ) \; dt \)
将积分分为左右两个积分，即：
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; cos^2 \omega t \; \cos \theta \; dt + \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt \)
使用三角恒等式：\( \quad \sin(\omega t) \cos(\omega t) = \dfrac{1}{2} \sin(2 \omega t) \) 将右边的积分改写为
\( \displaystyle \dfrac{V_0^2}{T |Z|} \int_0^T \; \sin \omega t \; \cos \omega t \; \sin \theta \; dt = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta) \int_0^T \sin (2 \omega t ) \; dt \)
\( \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos (2 \omega t ) \right]_0^T \)
\( \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } \left[\cos 2 \omega T - \cos 0 \right] \)
使用公式 \( \quad \omega = \dfrac{2 \pi}{T} \) 简化 \( \cos 2 \omega T \)
\( \quad \quad \quad = - \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \sin \theta \dfrac{1}{2 \omega } [\cos (4 \pi) - \cos 0] \)
\( \quad \quad \quad \quad = 0 \)
使用三角恒等式 \( \quad \cos^2 \omega t = \dfrac{1}{2} (\cos(2 \omega t )+1) \) 将左边的积分改写为
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; (\cos(2 \omega t )+1) \; dt \)
将积分分为两个积分
\( P_a = \displaystyle \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \cos \theta \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt + \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
与上述方法类似，可证明 \( \displaystyle \int_0^T \; \dfrac{1}{2} \cos(2 \omega t ) \; dt = 0 \)
因此 \( P_a \) 的公式为
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \; \int_0^T \; dt \)
\( \displaystyle \quad = \dfrac{V_0^2}{2 T |Z|} \; \cos \theta \left[t\right]_0^T \)
\[ \displaystyle \quad \quad P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
上述公式中的项 \( \cos \theta \) 称为功率因数。
注意，一般情况下，\( |Z| \) 和 \( \cos \theta \) 都依赖于频率，因此平均功率取决于电压（或电流）源的频率。
如上所述，这些计算可能相当复杂，因此包括了一个串联RLC电路的功率计算器以便进行更多练习和研究。
示例 1
在下面的串联RLC电路中，源电压为 \( v_i = 5 \cos (\omega t) \)，电容器的电容 \( C = 100 \; \mu F \)，电感器的电感 \( L = 100 \; mH\)，电阻器的电阻 \( R = 1000 \; \Omega \)，频率 \( f = 2000 \; 赫兹 \)。
a) 求出串联RLC电路的总阻抗 \( Z \)，并将其表示为极坐标形式。
b) 求出传递到总阻抗 \( Z \) 的平均功率。
示例 1 的解决方案
a)
对于串联RLC电路，\( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C} ) \)
\( \omega = 2 \pi f = 4000 \pi \) 弧度/秒
将 \( R \)、\( L \)、\( C \) 和 \( \omega \) 代入其数值可得
\( Z = 1000 + j\left(4000 \pi \times 100 \times 10^{-3} - \dfrac{1}{4000 \pi \times 100 \times 10^{-6}} \right) \)
\( Z = 1000 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi} \right) j \)
阻抗 \( Z \) 以标准复数形式表示为 \( Z = a + j b \)
在极坐标形式下，相同的阻抗表示为 \( Z = |Z| e^{j\theta} \)
其中 \( \theta = \arctan \dfrac{b}{a} \)，\( |Z| = \sqrt {a^2 + b^2} \)
因此
\( \theta = \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \)
\( |Z| = \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} \)
b)
\( \displaystyle P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \)
将 \( V_0 \)、\( |Z| \) 和 \( \theta \) 代入其数值
\( \displaystyle P_a = \dfrac{5^2}{2 \sqrt {1000^2 + \left(400\pi -\dfrac{5}{2\pi}\right)^2} } \cos \left( \arctan \left(\dfrac{400\pi -\dfrac{5}{2\pi} }{1000} \right) \right) \)
\( \quad \approx 0.00485 \; 瓦 \)
示例 2
证明在串联RLC电路（如示例1中的电路）中，平均功率在频率 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \) 时达到最大，并求出该最大功率的公式。
示例 2 的解决方案
a) 对于串联RLC电路，总阻抗公式为： \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
角频率 \( \omega \) 与频率 \( f \) 的关系式为：\( \omega = 2 \pi f = \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\)
将 \( \omega \) 用 \( \dfrac{1}{\sqrt{LC}}\) 代入 \( Z \) 得到
\( Z = R + j (\dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{1}{\dfrac{C}{\sqrt{LC}}}) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{1}{\sqrt{LC}} L - \dfrac{\sqrt{LC}}{C} ) \)
\( \quad = R + j ( \dfrac{\sqrt L}{\sqrt C} - \dfrac{\sqrt{L}}{\sqrt C} ) \)
化简为
\( Z = R \)
对于频率 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)，阻抗 \( Z \) 为实数，因此
\( |Z| = R \)
且 \( Z \) 的相位角 \( \theta \) 等于零。因此 \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) 达到最大值。
对于频率 \( f = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)，功率因数 \( \cos \theta = \cos 0 = 1 \) 最大，且 \( |Z| \) 最小，给出了平均功率的最大值公式
\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \)
示例 3
在一个类似于示例1中的串联RLC电路中，源电压为 \( v_i = 2 \cos ( \omega t) \)，电容器的电容 \( C = 470 \mu \)F，电感器的电感 \( L = 50 \)mH，电阻器的电阻为 \( R = 100 \; \Omega \)。
a) 通过上面的公式表达平均功率 \( P_a \)，绘制 \( P_a \) 随角频率 \( \omega \) 变化的图，并找出 \( P_a \) 最大值的位置。
b) 验证功率在角频率 \( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} \)（或频率 \( f_r = \dfrac{1}{2 \pi \sqrt{LC}} \)）处达到最大值，并且如示例2中解释的那样，由 \( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} \) 给出。
示例 3 的解决方案
对于串联RLC电路 \( Z = R + j(\omega L - \dfrac{1}{\omega C}) \)
模：\( |Z| = \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2} \)
相位角：\( \theta = \arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \)
平均功率 \( P_a \) 的公式为
\[ P_a = \dfrac{V_0^2}{2 |Z|} \cos \theta \]
将 \( V_0 \) 和 \( |Z| \) 代入公式
\( P_a (\omega ) = \dfrac{V_0^2}{2 \sqrt { R^2 + \left( \omega L - \dfrac{1}{\omega C} \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{\omega L - \dfrac{1}{\omega C}} {R} \right) \right) \)
将 \( R \)、\( L \) 和 \( C \) 代入其数值，得到 \( P_a \) 随 \( \omega \) 变化的函数
\( P_a (\omega ) = \dfrac{2}{ \sqrt { 100^2 + \left( 50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{470 \times 10^{-6}\; \omega } \right)^2}} \cos \left(\arctan \left( \dfrac{50 \times 10^{-3} \; \omega - \dfrac{1}{ 470 \times 10^{-6} \; \omega }} {100} \right) \right) \)
下图为 \( P_a (\omega ) \) 对 \( \omega \) 的函数图。
使用免费的 geogebra 图形计算器 进行绘图并找到最大值，如图所示。
b)
如上面的示例2中所解释，平均功率在
\( \omega_r = \dfrac{1}{\sqrt{LC}} = \dfrac{1}{ \sqrt{50 \times 10^{-3} \times 470 \times 10^{-6} }} \approx 206.28\) 弧度/秒
最大功率的公式为：\( P_a max = \dfrac{V_0^2}{2 R} = \dfrac{2^2}{2 \times 100} = 0.02\) 瓦特
计算得到的 \( \omega_r \) 和 \( P_a max \) 的值与上面图形法得到的值相等。